論文の概要: A Machine Learning Approach to the Nirenberg Problem

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2602.12368v1
• Date: Thu, 12 Feb 2026 19:58:11 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-02-16 23:37:53.730019
• Title: A Machine Learning Approach to the Nirenberg Problem
• Title（参考訳）: ニレンバーグ問題に対する機械学習アプローチ
• Authors: Gianfranco Cortés, Maria Esteban-Casadevall, Yueqing Feng, Jonas Henkel, Edward Hirst, Tancredi Schettini Gherardini, Alexander G. Stapleton,
• Abstract要約: この研究は、円メートル法に直交する測度に対して$S2$でガウス曲率を規定するニレンバーグ問題に数値的アプローチを導入する。 我々のメッシュフリー物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)アプローチは、この共形因子を直接パラメタライズし、曲率方程式を強制する幾何学的損失で訓練する。 既知実現性のある所定の曲率では、ニューラルネットワークは非常に低い損失(10-7 - 10-10$)を達成する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 33.85242816821759
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: This work introduces the Nirenberg Neural Network: a numerical approach to the Nirenberg problem of prescribing Gaussian curvature on $S^2$ for metrics that are pointwise conformal to the round metric. Our mesh-free physics-informed neural network (PINN) approach directly parametrises the conformal factor globally and is trained with a geometry-aware loss enforcing the curvature equation. Additional consistency checks were performed via the Gauss-Bonnet theorem, and spherical-harmonic expansions were fit to the learnt models to provide interpretability. For prescribed curvatures with known realisability, the neural network achieves very low losses ($10^{-7} - 10^{-10}$), while unrealisable curvatures yield significantly higher losses. This distinction enables the assessment of unknown cases, separating likely realisable functions from non-realisable ones. The current capabilities of the Nirenberg Neural Network demonstrate that neural solvers can serve as exploratory tools in geometric analysis, offering a quantitative computational perspective on longstanding existence questions.
• Abstract（参考訳）: この研究は、ニレンバーグニューラルネットワーク(Nirenberg Neural Network)を導入し、円メートル法に直交する測度に対して、$S^2$のガウス曲率を規定するニレンバーグ問題に対する数値的アプローチを紹介した。 我々のメッシュフリー物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)アプローチは、この共形因子を直接パラメタライズし、曲率方程式を強制する幾何学的損失で訓練する。 ガウス・ボンネットの定理によって追加の整合性チェックが行われ、球-調和展開は解釈可能性を提供する学習モデルに適合した。 既知実現性のある所定の曲率では、ニューラルネットワークは非常に低い損失(10^{-7} - 10^{-10}$)を達成し、計算不能な曲率は非常に高い損失をもたらす。 この区別は未知のケースの評価を可能にし、実現不可能な機能と非可解な機能とを区別する。 Nirenberg Neural Networkの現在の能力は、ニューラルネットワークが幾何学解析の探索ツールとして機能し、長年存在する問題に対する定量的な計算的視点を提供することを示している。

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