論文の概要: Regularity of Solutions to Beckmann's Parametric Optimal Transport

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.19755v1
• Date: Fri, 20 Mar 2026 08:40:37 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-03-23 19:48:39.057974
• Title: Regularity of Solutions to Beckmann's Parametric Optimal Transport
• Title（参考訳）: ベックマンのパラメトリック最適輸送への解の規則性
• Authors: Hanno Gottschalk, Tobias J. Riedlinger,
• Abstract要約: ベックマンの発散制約を強制するラグランジアン乗法がポアソン方程式を満たすことを示す。 電位の正確なHlder正則性、フラックスおよびフロー生成は、ソース密度とターゲット密度のHlder正則性に基づいて導出される。 このアプローチがフィッシャー・ラオ勾配流のような他の確率経路に一般化されることが示される。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.915947686247852
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Beckmann's problem in optimal transport minimizes the total squared flux in a continuous transport problem from a source to a target distribution. In this article, the regularity theory for solutions to Beckmann's problem in optimal transport is developed utilizing an unconstrained Lagrangian formulation and solving the variational first order optimality conditions. It turns out that the Lagrangian multiplier that enforces Beckmann's divergence constraint fulfills a Poisson equation and the flux vector field is obtained as the potential's gradient. Utilizing Schauder estimates from elliptic regularity theory, the exact Hölder regularity of the potential, the flux and the flow generating is derived on the basis of Hölder regularity of source and target densities on a bounded, regular domain. If the target distribution depends on parameters, as is the case in conditional (``promptable'') generative learning, we provide sufficient conditions for separate and joint Hölder continuity of the resulting vector field in the parameter and the data dimension. Following a recent result by Belomnestny et al., one can thus approximate such vector fields with deep ReQu neural networks in C^(k,alpha)-Hölder norm. We also show that this approach generalizes to other probability paths, like Fisher-Rao gradient flows.
• Abstract（参考訳）: ベックマンの最適輸送における問題は、ソースからターゲット分布への連続輸送問題における全二乗フラックスを最小化する。 本稿では、最適輸送におけるベックマン問題に対する解の正則性理論を、制約のないラグランジアン定式化を用いて発展させ、変分一階最適性条件を解く。 ベックマンの発散制約を強制するラグランジアン乗法がポアソン方程式を満たすことが判明し、ポテンシャルの勾配としてフラックスベクトル場が得られる。 楕円正則理論からシャウダー推定を利用すると、ポテンシャル、フラックスおよびフロー生成の正確なヘルダー正則性は、有界な正則領域上のソースとターゲット密度のヘルダー正則性に基づいて導かれる。 対象分布がパラメータに依存する場合、条件付き(``promptable'')生成学習の場合と同様に、パラメータとデータ次元における結果ベクトル場の分離および結合ヘルダー連続性に対して十分な条件を与える。 Belomnestny et al の最近の結果に従えば、そのようなベクトル場を C^(k,alpha)-ヘルダーノルムの深いReQuニューラルネットワークと近似することができる。 また、この手法がフィッシャー・ラオ勾配流のような他の確率経路に一般化されることも示している。

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