論文の概要: Efficient generation and explicit dimensionality of Lie group-equivariant and permutation-invariant bases

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2604.01975v1
• Date: Thu, 02 Apr 2026 12:33:33 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-04-03 14:21:10.785324
• Title: Efficient generation and explicit dimensionality of Lie group-equivariant and permutation-invariant bases
• Title（参考訳）: リー群同変および置換不変基底の効率的な生成と明示的次元性
• Authors: Eloïse Barthelemy, Geneviève Dusson, Camille Hernandez, Liwei Zhang,
• Abstract要約: 我々は、$N$変数のリー群同変および置換不変関数の実用的構成を提案する。 この構成は任意の線型リー群に対して一般であり、リー代数から構築された行列の構築に依存している。 N$の大きい値に対して、回転同変基底関数と置換不変基底関数の数は同値であることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.6789611055085498
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: In this article, we propose a practical construction of Lie group-equivariant and permutation-invariant functions of $N$ variables from the knowledge of a one-particle basis that is stable with respect to the group action. The construction is generic for any linear Lie group and relies on building a matrix constructed from the Lie algebra whose kernel is spanned by a group-equivariant and permutation-invariant basis. In particular, this construction does not require the knowledge of Clebsch--Gordan coefficients and instead directly builds generalized Clebsch--Gordan coefficients. For specific groups such as $SO(3)$ and $SU(2)$, we exploit the Lie algebra structure to simplify the matrix, which then allows us to derive an explicit formula for the exact dimension of the group-equivariant and permutation-invariant space. Numerical simulations are provided to show that the proposed method scales linearly instead of exponentially for existing methods in the literature. We also show that for large values of $N$, the number of rotation-equivariant and permutation-invariant basis functions is of a comparable order as the number of permutation-invariant basis functions, while pre-asymptotically, a large gain can be achieved by explicitly enforcing rotation-equivariance on top of permutation-invariance.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,群作用に関して安定な一粒子基底の知識から,$N$変数のリー群同変および置換不変関数の実用的構築を提案する。 この構成は任意の線型リー群に対して総称的であり、核が群同変かつ置換不変基底(英語版)(permutation-invariant basis)によって張られるリー代数(英語版)から構築された行列の構築に依存する。 特に、この構成はクレブシュ-ゴルダン係数の知識を必要とせず、代わりに一般化されたクレブシュ-ゴルダン係数を直接構築する。 例えば$SO(3)$ や $SU(2)$ のような特定の群に対して、リー代数構造を利用して行列を単純化し、群-同変空間と置換不変空間の正確な次元について明示的な公式を導出することができる。 提案手法は,既存手法に対して指数関数的にではなく線形にスケールすることを示す数値シミュレーションを行った。 また、N$の大きい値に対して、回転同変および置換不変基底関数の数は、置換不変基底関数の個数と同等の順序であることを示し、一方、漸近的に、置換不変基底関数の上の回転同変を明示的に強制することにより大きなゲインが得られることを示した。

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