論文の概要: Online learning of smooth functions on $\mathbb{R}$

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2604.03525v1
• Date: Sat, 04 Apr 2026 00:08:22 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-04-07 15:49:18.622313
• Title: Online learning of smooth functions on $\mathbb{R}$
• Title（参考訳）: $\mathbb{R}$上の滑らかな関数のオンライン学習
• Authors: Jesse Geneson, Kuldeep Singh, Alexander Wang,
• Abstract要約: 実数値関数の逆オンライン学習を$mathbbR$で研究する。 任意の$p$-loss $sum_tge 1|hat y_t-f(x_t)|p$ に対して、敵は無限の損失を強いることができる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 46.81931064034358
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We study adversarial online learning of real-valued functions on $\mathbb{R}$. In each round the learner is queried at $x_t\in\mathbb{R}$, predicts $\hat y_t$, and then observes the true value $f(x_t)$; performance is measured by cumulative $p$-loss $\sum_{t\ge 1}|\hat y_t-f(x_t)|^p$. For the class \[ \mathcal{G}_q=\Bigl\{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\ \text{absolutely continuous}:\ \int_{\mathbb{R}}|f'(x)|^q\,dx\le 1\Bigr\}, \] we show that the standard model becomes ill-posed on $\mathbb{R}$: for every $p\ge 1$ and $q>1$, an adversary can force infinite loss. Motivated by this obstruction, we analyze three modified learning scenarios that limit the influence of queries that are far from previously observed inputs. In Scenario 1 the adversary must choose each new query within distance $1$ of some past query. In Scenario 2 the adversary may query anywhere, but the learner is penalized only on rounds whose query lies within distance $1$ of a past query. In Scenario 3 the loss in round $t$ is multiplied by a weight $g(\min_{j<t}|x_t-x_j|)$. We obtain sharp characterizations for Scenarios 1-2 in several regimes. For Scenario 3 we identify a clean threshold phenomenon: if $g$ decays too slowly, then the adversary can force infinite weighted loss. In contrast, for rapidly decaying weights such as $g(z)=e^{-cz}$ we obtain finite and sharp guarantees in the quadratic case $p=q=2$. Finally, we study a natural multivariable slice generalization $\mathcal{G}_{q,d}$ of $\mathcal{G}_q$ on $\mathbb{R}^d$ and show a sharp dichotomy: while the one-dimensional case admits finite opt-values in certain regimes, for every $d\ge 2$ the slice class $\mathcal{G}_{q,d}$ is too permissive, and even under Scenarios 1-3 an adversary can force infinite loss.
• Abstract（参考訳）: 実数値関数の逆オンライン学習を$\mathbb{R}$で研究する。 各ラウンドで学習者は$x_t\in\mathbb{R}$で問合せされ、$\hat y_t$を予測し、次に真値$f(x_t)$を観測し、累積$p$-loss$\sum_{t\ge 1}|\hat y_t-f(x_t)|^p$でパフォーマンスを測定する。 クラス \[ \mathcal{G}_q=\Bigl\{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\ \text{absolutely continuous}:\ \int_{\mathbb{R}}|f'(x)|^q\,dx\le 1\Bigr\}, \] に対して、標準モデルは$\mathbb{R}$に悪影響を及ぼす。 この障害によって動機付けられた3つの修正学習シナリオを解析し、従来観測されていた入力から遠く離れたクエリの影響を制限する。 シナリオ1では、敵は過去のクエリから1ドル以内で、それぞれの新しいクエリを選択する必要がある。 シナリオ2では、相手はどこでもクエリできるが、学習者は過去のクエリの1ドル以内のラウンドでのみペナル化される。 シナリオ3では、ラウンド$t$の損失は重量$g(\min_{j<t}|x_t-x_j|)$で乗算される。 いくつかの制度において、シナリオ1-2の鋭い特徴付けを得る。 シナリオ3では、クリーンなしきい値現象が特定される:$g$が崩壊しすぎると、敵は無限の重み付き損失を強いる。 対照的に、$g(z)=e^{-cz}$のような急速に崩壊する重みに対して、2次の場合$p=q=2$で有限かつ鋭い保証を得る。 最後に、自然な多変数スライス一般化 $\mathcal{G}_{q,d}$ of $\mathcal{G}_q$ on $\mathbb{R}^d$ を研究し、鋭い二分法を示す。

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