Fugu-MT 論文翻訳(概要): Monge-Kantorovich Fitting With Sobolev Budgets

論文の概要: Monge-Kantorovich Fitting With Sobolev Budgets

arxiv url: http://arxiv.org/abs/2409.16541v2
Date: Sat, 29 Mar 2025 21:57:44 GMT
ステータス: 翻訳完了
システム内更新日: 2025-04-01 14:28:07.862137
Title: Monge-Kantorovich Fitting With Sobolev Budgets
Title（参考訳）: モンゲ・カントロヴィチ、ソボレフ予算で合意
Authors: Forest Kobayashi, Jonathan Hayase, Young-Heon Kim,
Abstract要約: 我々は、$rho$が$mtext-d$集合の近くに集中しているとき、これをノイズのあるデータを持つ多様体学習問題と解釈できることを示した。 Monge-Kantorovich $p$-cost $mathbbW_pp(rho, nu)$を介して$rho$を近似する際の$nu$のパフォーマンスを定量化し、$mathrmsupp nu$を$f : mathbbRmでカバーできるようにすることで複雑さを制限します。
参考スコア（独自算出の注目度）: 6.748324975906262
License:
Abstract: Given $m < n$, we consider the problem of ``best'' approximating an $n\text{-d}$ probability measure $\rho$ via an $m\text{-d}$ measure $\nu$ such that $\mathrm{supp}\ \nu$ has bounded total ``complexity.'' When $\rho$ is concentrated near an $m\text{-d}$ set we may interpret this as a manifold learning problem with noisy data. However, we do not restrict our analysis to this case, as the more general formulation has broader applications. We quantify $\nu$'s performance in approximating $\rho$ via the Monge-Kantorovich (also called Wasserstein) $p$-cost $\mathbb{W}_p^p(\rho, \nu)$, and constrain the complexity by requiring $\mathrm{supp}\ \nu$ to be coverable by an $f : \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{n}$ whose $W^{k,q}$ Sobolev norm is bounded by $\ell \geq 0$. This allows us to reformulate the problem as minimizing a functional $\mathscr J_p(f)$ under the Sobolev ``budget'' $\ell$. This problem is closely related to (but distinct from) principal curves with length constraints when $m=1, k = 1$ and an unsupervised analogue of smoothing splines when $k > 1$. New challenges arise from the higher-order differentiability condition. We study the ``gradient'' of $\mathscr J_p$, which is given by a certain vector field that we call the barycenter field, and use it to prove a nontrivial (almost) strict monotonicity result. We also provide a natural discretization scheme and establish its consistency. We use this scheme as a toy model for a generative learning task, and by analogy, propose novel interpretations for the role regularization plays in improving training.
Abstract（参考訳）: m < n$ が与えられたとき、$m\text{-d}$ probability measure $\rho$ via a $m\text{-d}$ measure $\nu$ {\displaystyle $\mathrm{supp}\ \nu$ has bounded total ``complexity.} という問題を考える。 ''$\rho$が$m\text{-d}$集合の近くに集中すると、ノイズの多いデータを持つ多様体学習問題と解釈できる。しかし、より一般的な定式化はより広範な応用を持つため、このケースでは分析を制限しない。我々は$\nu$のパフォーマンスをMonge-Kantorovich (Wassersteinとも呼ばれる)$p$-cost $\mathbb{W}_p^p(\rho, \nu)$で近似し、$f : \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{n}$でカバーするために$\mathrm{supp}\ \nu$を要求することで複雑さを制限し、$W^{k,q}$ Sobolevノルムは$\ell \geq 0$で有界である。これにより、Sobolev ``budget'' $\ell$ の下での関数 $\mathscr J_p(f)$ を最小化できる。この問題は、$m=1, k = 1$ のときの長さ制約のある主曲線と、$k > 1$ のときの滑らかなスプラインの非教師なしアナログと密接に関連している。新たな課題は、高次微分可能性条件から生じている。我々は、あるベクトル場から与えられる$\mathscr J_p$の ``gradient'' を研究し、それをバリー中心場と呼び、非自明な(ほぼ)厳密な単調性の結果を証明するために利用する。また、自然な離散化スキームを提供し、一貫性を確立します。生成学習タスクの玩具モデルとしてこのスキームを用い、類推により、トレーニング改善における正規化の役割に対する新しい解釈を提案する。

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