論文の概要: How Much Data is Enough? The Zeta Law of Discoverability in Biomedical Data, featuring the enigmatic Riemann zeta function

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2604.17581v1
• Date: Sun, 19 Apr 2026 19:08:53 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-04-21 21:52:52.59248
• Title: How Much Data is Enough? The Zeta Law of Discoverability in Biomedical Data, featuring the enigmatic Riemann zeta function
• Title（参考訳）: どれくらいのデータが十分か? 謎のリーマンゼータ関数を特徴とするバイオメディカルデータにおけるゼータ発見法
• Authors: Paul M. Thompson,
• Abstract要約: 本稿では,データ共分散演算子のスペクトル構造,タスク整列信号投影,学習表現に基づくクロスモーダル発見可能性のためのスケーリング法フレームワークを提案する。 このフレームワークは、より単純なモデルが小さなサンプルサイズで最大限に機能するクロスオーバーキャパシティを予測し、十分なデータが追加の自由度を安定化すれば、高あるいはマルチモーダルエンコーダはそれらを上回る性能を発揮する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.560394526607184
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: How much data is enough to make a scientific discovery? As biomedical datasets scale to millions of samples and AI models grow in capacity, progress increasingly depends on predicting when additional data will substantially improve performance. In practice, model development often relies on empirical scaling curves measured across architectures, modalities, and dataset sizes, with limited theoretical guidance on when performance should improve, saturate, or exhibit cross-over behavior. We propose a scaling-law framework for cross-modal discoverability based on spectral structure of data covariance operators, task-aligned signal projections, and learned representations. Many performance metrics, including AUC, can be expressed in terms of cumulative signal-to-noise energy accumulated across identifiable spectral modes of an encoder and cross-modal operator. Under mild assumptions, this accumulation follows a zeta-like scaling law governed by power-law decay of covariance spectra and aligned signal energy, leading naturally to the appearance of the Riemann zeta function. Representation learning methods such as sparse models, low-rank embeddings, and multimodal contrastive objectives improve sample efficiency by concentrating useful signal into earlier stable modes, effectively steepening spectral decay and shifting scaling curves. The framework predicts cross-over regimes in which simpler models perform best at small sample sizes, while higher-capacity or multimodal encoders outperform them once sufficient data stabilizes additional degrees of freedom. Applications include multimodal disease classification, imaging genetics, functional MRI, and topological data analysis. The resulting zeta law provides a principled way to anticipate when scaling data, improving representations, or adding modalities is most likely to accelerate discovery.
• Abstract（参考訳）: 科学的な発見に十分な量のデータがあるのか? バイオメディカルデータセットが数百万のサンプルにスケールし、AIモデルがキャパシティを拡大するにつれて、さらなるデータがパフォーマンスを大幅に向上する時期を予測することによる進歩がますます増えている。 実際には、モデル開発はアーキテクチャ、モダリティ、データセットサイズにわたって測定された経験的スケーリング曲線に依存しており、パフォーマンスがいつ改善されるべきか、飽和するか、それともクロスオーバー動作を示すべきかという理論的なガイダンスは限られている。 本稿では,データ共分散演算子のスペクトル構造,タスク整列信号投影,学習表現に基づくクロスモーダル発見可能性のためのスケーリング法フレームワークを提案する。 AUCを含む多くのパフォーマンス指標は、エンコーダとクロスモーダル演算子の識別可能なスペクトルモード間で蓄積される累積信号-雑音エネルギーで表すことができる。 軽度の仮定では、この累積は共分散スペクトルと整列信号エネルギーのパワー-法則によって支配されるゼータ様のスケーリング則に従っており、自然にリーマンゼータ函数が現れる。 スパースモデル、低ランク埋め込み、マルチモーダルコントラスト目的などの表現学習手法は、有用な信号を以前の安定モードに集中させることでサンプリング効率を向上し、スペクトル減衰を効果的に加速し、スケーリング曲線をシフトさせる。 このフレームワークは、より単純なモデルが小さなサンプルサイズで最大限に機能するクロスオーバーレシエーションを予測し、十分なデータが追加の自由度を安定化すれば、高容量またはマルチモーダルエンコーダがそれらを上回ります。 応用例としては、マルチモーダル病分類、画像遺伝学、機能MRI、トポロジカルデータ分析などがある。 結果として生じるゼータ法則は、データのスケーリング、表現の改善、あるいはモダリティの追加が発見を加速する可能性が最も高い、という原則的な方法を提供する。

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