論文の概要: Physics-Informed Neural Networks: A Didactic Derivation of the Complete Training Cycle

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2604.18481v1
• Date: Mon, 20 Apr 2026 16:34:47 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-04-21 21:52:52.996587
• Title: Physics-Informed Neural Networks: A Didactic Derivation of the Complete Training Cycle
• Title（参考訳）: 物理インフォームドニューラルネットワーク:完全学習サイクルの適応的導出
• Authors: Abdeladhim Tahimi,
• Abstract要約: 本稿では,物理インフォームドニューラルネットワークの完全学習サイクルの自己完結型ガイドである。 Jupyter/PyTorchノートブックは、すべての手動計算と完全なトレーニングパイプラインを再現する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: This paper is a step-by-step, self-contained guide to the complete training cycle of a Physics-Informed Neural Network (PINN) -- a topic that existing tutorials and guides typically delegate to automatic differentiation libraries without exposing the underlying algebra. Using a first-order initial value problem with a known analytical solution as a running example, we walk through every stage of the process: forward propagation of both the network output and its temporal derivative, evaluation of a composite loss function built from the ODE residual and the initial condition, backpropagation of gradients -- with particular attention to the product rule that arises in hidden layers -- and a gradient descent parameter update. Every calculation is presented with explicit, verifiable numerical values using a 1-3-3-1 multilayer perceptron with two hidden layers and 22 trainable parameters. From these concrete examples, we derive general recursive formulas -- expressed as sensitivity propagation relations -- that extend the gradient computation to networks of arbitrary depth, and we connect these formulas to the automatic differentiation engines used in practice. The trained network is then validated against the exact solution, achieving a relative $L^2$ error of $4.290 \times 10^{-4}$ using only the physics-informed loss, without any data from the true solution. A companion Jupyter/PyTorch notebook reproduces every manual calculation and the full training pipeline, providing mutual validation between hand-derived and machine-computed gradients.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,Physical-Informed Neural Network (PINN) の完全トレーニングサイクルへのステップバイステップで自己完結したガイドである。 ネットワーク出力と時間的デリバティブの両方の転送、ODE残差と初期状態から構築された複合損失関数の評価、勾配のバックプロパゲーション、特に隠れたレイヤで発生するプロダクトルール、勾配降下パラメータの更新などです。 各計算は、2つの隠れた層と22のトレーニング可能なパラメータを持つ1-3-3-1多層パーセプトロンを用いて、明示的で検証可能な数値で表される。 これらの具体例から、勾配計算を任意の深さのネットワークに拡張する一般再帰公式(感度伝搬関係として表される)を導出し、これらの公式を実際に使用される自動微分エンジンに接続する。 トレーニングされたネットワークは、正確な解に対して検証され、真の解からのデータ無しに、物理インフォームド損失のみを用いて、相対的な4.290 \times 10^{-4}$のL^2$誤差を達成する。 Jupyter/PyTorchノートブックは、すべての手動計算とフルトレーニングパイプラインを再現し、手動と機械計算による勾配の相互検証を提供する。

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