論文の概要: Border subrank of higher order tensors and algebras
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2604.19872v1
- Date: Tue, 21 Apr 2026 18:00:04 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-04-23 15:36:10.668178
- Title: Border subrank of higher order tensors and algebras
- Title（参考訳）: 高階テンソルと代数の有界部分ランク
- Abstract要約: 数族代数の高次構造テンソルの境界部分ランクを決定する。
我々は代数の構造テンソルの退化が高次から低次へと伝播することを証明した。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.3509194648045753
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We determine the border subrank of higher order structure tensors of several families of algebras, and in particular obtain the following results. (1) We determine tight bounds on the border subrank of $k$-fold matrix multiplication and $k$-fold upper triangular matrix multiplication for all $k$. (2) We determine the border subrank of the higher order structure tensors of truncated polynomial algebras, null algebras, and apolar algebras of a quadric. (3) We determine the border subrank of the higher order structure tensors of the Lie algebra $\mathfrak{sl}_2$ for all orders. (4) We prove that degeneration of structure tensors of algebras propagates from higher to lower order. Along the way, we investigate which upper bound methods (geometric rank, $G$-stable rank, socle degree) are effective in which settings, and how they relate. Our work extends the results of Strassen (J.~Reine Angew.~Math., 1987, 1991), who determined the asymptotic subrank of these algebras for tensors of order three, in two directions: we determine the border subrank itself rather than its asymptotic version, and we consider higher order structure tensors.
- Abstract（参考訳）: 代数のいくつかの族からなる高次構造テンソルの境界部分ランクを決定し、特に次の結果を得る。
1) すべての$k$に対する$k$-fold行列乗算と$k$-fold上の三角行列乗算の境界部分ランクの厳密な境界を決定する。
2) truncated polynomial algebras, null algebras, and apolar algebras of a quadric。
(3) リー代数 $\mathfrak{sl}_2$ の高次構造テンソルの境界部分ランクを決定する。
(4) 代数の構造テンソルの退化は高次から低次へと伝播することを示す。
その過程で,どの上界法(幾何ランク,$G$-stableランク,socle次数)がどの設定に有効か,どのように関係するかを検討する。
我々の研究はストラッセン(英語版)(J.~Reine Angew.〜Math., 1987, 1991)の結果を拡張し、次数3のテンソルに対するこれらの代数の漸近部分ランクを2方向に決定した。
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