論文の概要: State-Dependent Lyapunov Method for Rank-1 Matrix Factorization
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2604.26993v1
- Date: Tue, 28 Apr 2026 22:43:16 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-05-01 16:31:53.704629
- Title: State-Dependent Lyapunov Method for Rank-1 Matrix Factorization
- Title（参考訳）: Rank-1行列分解のための状態依存リアプノフ法
- Authors: Jaehong Moon,
- Abstract要約: ランク1行列因数分解の勾配勾配を証明に基づく視点で検討する。
認定制度では、この機構は世界最小化器に収束する。
ポストクリティカルな状態においては、終端均衡多様体に向かって軌道を強制する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: We study gradient descent for rank-1 matrix factorization through a certificate-based viewpoint. The central object is a parameterized quadratic certificate $I(δ;\,\cdot)$ whose level sets shrink along the dynamics, thereby inducing a monotone state parameter $δ_t$. In the certified regime, this mechanism yields convergence to a global minimizer; in the post-critical regime, it forces trajectories toward a terminal balanced manifold. To explain the origin of these certificates, we formulate a state-dependent Lyapunov framework based on structural axioms. Within this framework, the scalar certificate is uniquely determined, and the same local Lagrange analysis constrains the signal and noise blocks of rank-1 extensions. Thus, the certificates arise from the monotonicity structure of the dynamics, rather than from ad hoc algebraic constructions. We also provide numerical evidence beyond the proved cases. For the 2-dimensional rank-1 approximation problem $X=\mathrm{diag}(1,σ)$ with $σ\in(0,1)$, the experiments are consistent with the existence of a $C^1$ admissible certificate branch. For the quartic-augmented scalar loss $\frac12(ab-1)^2+μ(ab-1)^4$, the same scalar certificate remains predictive for several values of $μ$ after choosing an empirical threshold. These experiments suggest that the state-dependent Lyapunov method may extend beyond the settings proved in this paper.
- Abstract（参考訳）: ランク1行列因数分解の勾配勾配を証明に基づく視点で検討する。
中心となるオブジェクトはパラメータ化された二次証明 $I(δ;\,\cdot)$ であり、そのレベルセットはダイナミクスに沿って縮み、したがってモノトン状態パラメータ $δ_t$ を誘導する。
認定制では、この機構は、大域最小化器に収束し、ポストクリティカル制では、終均衡多様体へ軌道を強制する。
これらの証明の起源を説明するために、構造公理に基づく状態依存のリアプノフフレームワークを定式化する。
このフレームワーク内では、スカラー証明書は一意に決定され、同じ局所ラグランジュ解析はランク1拡張の信号とノイズブロックを制約する。
したがって、証明は、アドホック代数的な構成ではなく、力学の単調構造から生じる。
また、証明された事例以外の数値的な証拠も提示する。
2次元階数-1近似問題 $X=\mathrm{diag}(1,σ)$ with $σ\in(0,1)$ の場合、実験は$C^1$許容証明分岐の存在と一致している。
クォート増分スカラー損失$\frac12(ab-1)^2+μ(ab-1)^4$の場合、経験しきい値を選択した後、同じスカラー証明書がいくつかの値で予測される。
これらの実験は、状態依存的なリャプノフ法が、本論文で証明された設定を超えて拡張可能であることを示唆している。
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