論文の概要: A Theoretical Framework for Discovering Groups and Unitary Representations via Tensor Factorization

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2511.23152v1
• Date: Fri, 28 Nov 2025 12:58:13 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-12-01 19:47:55.899075
• Title: A Theoretical Framework for Discovering Groups and Unitary Representations via Tensor Factorization
• Title（参考訳）: テンソル因子化によるグループとユニタリ表現の発見のための理論的枠組み
• Authors: Dongsung Huh, Halyun Jeong,
• Abstract要約: 我々は、この帰納的バイアスの厳密な理論的説明を、その目的を規制因子スケールの項に分解することで提供する。 1)大域的最小値は群に対するユニタリ正規表現によって達成され、(2)非群演算は厳密に高い目的値をもたらす。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 9.572235167281685
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We analyze the HyperCube model, an \textit{operator-valued} tensor factorization architecture that discovers group structures and their unitary representations. We provide a rigorous theoretical explanation for this inductive bias by decomposing its objective into a term regulating factor scales ($\mathcal{B}$) and a term enforcing directional alignment ($\mathcal{R} \geq 0$). This decomposition isolates the \textit{collinear manifold} ($\mathcal{R}=0$), to which numerical optimization consistently converges for group isotopes. We prove that this manifold admits feasible solutions exclusively for group isotopes, and that within it, $\mathcal{B}$ exerts a variational pressure toward unitarity. To bridge the gap to the global landscape, we formulate a \textit{Collinearity Dominance Conjecture}, supported by empirical observations. Conditional on this dominance, we prove two key results: (1) the global minimum is achieved by the unitary regular representation for groups, and (2) non-group operations incur a strictly higher objective value, formally quantifying the model's inductive bias toward the associative structure of groups (up to isotopy).
• Abstract（参考訳）: 我々は,グループ構造とそのユニタリ表現を探索する,textit{operator-valued} テンソル因子化アーキテクチャであるHyperCubeモデルを解析する。 この帰納バイアスの厳密な理論的説明は、その目的を規制因子スケール($\mathcal{B}$)と方向アライメント($\mathcal{R} \geq 0$)に分解することで得られる。 この分解は \textit{collinear manifold} ("\mathcal{R}=0$") を分離し、数値最適化は群同位体に対して一貫して収束する。 この多様体は、群同位体に対してのみ実現可能な解を認め、その内、$\mathcal{B}$はユニタリ性に対して変動的な圧力を与えることを証明している。 グローバルランドスケープへのギャップを埋めるため、実証観測によって支援された「textit{Collinearity Dominance Conjecture}」を定式化する。 この支配を条件として、(1)大域的最小度は群に対するユニタリ正規表現によって達成され、(2)非群演算は厳密に高い目的値をもたらし、群(イソトピーまで)の連想構造に対するモデルの帰納的バイアスを正式に定量化する。

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