論文の概要: A Mean Curvature Approach to Boundary Detection: Geometric Insights for Unsupervised Learning

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2605.04274v1
• Date: Tue, 05 May 2026 20:19:09 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-05-07 18:41:07.535288
• Title: A Mean Curvature Approach to Boundary Detection: Geometric Insights for Unsupervised Learning
• Title（参考訳）: 境界検出における平均曲率アプローチ:教師なし学習のための幾何学的洞察
• Authors: Alexandre L. M. Levada,
• Abstract要約: 本稿では,幾何学的機械学習に基づく新しい幾何学的フレームワークであるMean Curvature Boundary Points (MCBP)を紹介する。 MCBPはデータ多様体の固有曲率を明示的にモデル化し、原理化された多様体のパラメトリゼーションを必要としない点平均曲率を計算する。 合成および実世界のデータセットの実験により、MCBPはクラスタリング性能を一貫して改善することを示した。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 52.452902154360565
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Accurate boundary detection in high-dimensional data remains a central challenge in unsupervised learning, particularly in the presence of non-linear structures and heterogeneous densities. In this work, we introduce Mean Curvature Boundary Points (MCBP), a novel geometric framework grounded in Geometric Machine Learning that departs from traditional density-based approaches by explicitly modeling the intrinsic curvature of the data manifold. The method relies on a discrete approximation of the shape operator, estimated from local k-nearest neighbor patches, to compute pointwise mean curvature without requiring explicit manifold parametrization. The key insight of MCBP is to use mean curvature as a principled descriptor of boundary structure: high-curvature regions naturally correspond to transitions between clusters, geometric irregularities, and low-density interfaces. This yields a unified geometric interpretation of boundary, outlier, and transition points. We further introduce an adaptive percentile-based thresholding scheme that enables multiscale boundary extraction without relying on ad hoc density parameters. Beyond detection, we propose a curvature-driven data decomposition that separates samples into smooth (low-curvature) and boundary (high-curvature) subsets, effectively acting as a non-linear geometric filtering mechanism. This representation enhances cluster separability and improves the robustness of downstream unsupervised algorithms. Extensive experiments on synthetic and real-world datasets demonstrate that MCBP consistently improves clustering performance, particularly in complex and high-dimensional scenarios. These results position MCBP as a concrete contribution to Geometric Machine Learning, highlighting the potential of curvature-aware analysis as a unifying paradigm bridging differential geometry and data-driven modeling.
• Abstract（参考訳）: 高次元データにおける正確な境界検出は、教師なし学習、特に非線形構造や異種密度の存在において中心的な課題である。 本研究では,データ多様体の固有曲率を明示的にモデル化することによって,従来の密度に基づくアプローチから逸脱する幾何学的枠組みであるMean Curvature Boundary Points (MCBP)を紹介する。 この方法は、局所k-アネレスト近傍のパッチから推定される形状作用素の離散近似に基づいて、明示的な多様体のパラメトリゼーションを必要としない点平均曲率を計算する。 MCBPの鍵となる洞察は、平均曲率を境界構造の原則記述として使うことである: 高曲率領域は、クラスタ間の遷移、幾何不規則性、低密度界面に自然に対応する。 これにより、境界、外れ値、遷移点の統一的な幾何学的解釈が得られる。 さらに、アダプティブパーセンタイルに基づく閾値決定方式を導入し、アダプティブホック密度パラメータに依存することなく、マルチスケール境界抽出を可能にする。 検出以外にも,サンプルをスムーズ(低曲率)と境界(高曲率)のサブセットに分割し,非線形な幾何フィルタリング機構として効果的に機能する曲率駆動型データ分解を提案する。 この表現はクラスタ分離性を高め、下流の教師なしアルゴリズムの堅牢性を向上させる。 合成および実世界のデータセットに関する大規模な実験により、MCBPはクラスタリング性能を、特に複雑で高次元のシナリオで一貫して改善することを示した。 これらの結果は、MCBPを幾何学機械学習への具体的な貢献として位置づけ、曲率認識分析の可能性を、微分幾何学とデータ駆動モデリングの統一パラダイムとして強調した。

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