論文の概要: Curvature-Aware PCA with Geodesic Tangent Space Aggregation for Semi-Supervised Learning

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2604.18816v1
• Date: Mon, 20 Apr 2026 20:36:36 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-04-22 22:41:49.477518
• Title: Curvature-Aware PCA with Geodesic Tangent Space Aggregation for Semi-Supervised Learning
• Title（参考訳）: ジオデシック・タンジェント・スペース・アグリゲーションを用いた半教師付き学習のための曲率認識型PCA
• Authors: Alexandre L. M. Levada,
• Abstract要約: GTSA-PCAは主成分分析の幾何学的拡張である。 曲率認識と測地的整合性を統合されたスペクトルフレームワークに統合する。 以上の結果から,GTSA-PCAは次元減少に対する統計的および幾何学的アプローチの原則的ブリッジとして位置づけられた。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 52.452902154360565
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Principal Component Analysis (PCA) is a fundamental tool for representation learning, but its global linear formulation fails to capture the structure of data supported on curved manifolds. In contrast, manifold learning methods model nonlinearity but often sacrifice the spectral structure and stability of PCA. We propose \emph{Geodesic Tangent Space Aggregation PCA (GTSA-PCA)}, a geometric extension of PCA that integrates curvature awareness and geodesic consistency within a unified spectral framework. Our approach replaces the global covariance operator with curvature-weighted local covariance operators defined over a $k$-nearest neighbor graph, yielding local tangent subspaces that adapt to the manifold while suppressing high-curvature distortions. We then introduce a geodesic alignment operator that combines intrinsic graph distances with subspace affinities to globally synchronize these local representations. The resulting operator admits a spectral decomposition whose leading components define a geometry-aware embedding. We further incorporate semi-supervised information to guide the alignment, improving discriminative structure with minimal supervision. Experiments on real datasets show consistent improvements over PCA, Kernel PCA, Supervised PCA and strong graph-based baselines such as UMAP, particularly in small sample size and high-curvature regimes. Our results position GTSA-PCA as a principled bridge between statistical and geometric approaches to dimensionality reduction.
• Abstract（参考訳）: 主成分分析(PCA)は、表現学習の基本的なツールであるが、その大域的線形定式化は、曲線多様体上でサポートされているデータの構造を捉えることに失敗する。 対照的に、多様体学習法は非線形性をモデル化するが、しばしばPCAのスペクトル構造と安定性を犠牲にする。 本稿では,GTSA-PCAの幾何学的拡張であるGTSA-PCA(enmph{Geodesic Tangent Space Aggregation PCA)を提案する。 我々のアプローチは、大域的共分散作用素を$k$-nearest 近傍グラフ上で定義される曲率重み付き局所共分散作用素に置き換え、高曲率歪みを抑えながら多様体に適応する局所接部分空間を生成する。 次に、内在グラフ距離と部分空間親和性を組み合わせた測地的アライメント演算子を導入し、これらの局所表現をグローバルに同期させる。 結果として得られる作用素は、主成分が幾何認識の埋め込みを定義するスペクトル分解を許容する。 さらに、半教師付き情報を組み込んでアライメントを誘導し、最小限の監督で差別構造を改善する。 実際のデータセットの実験では、PCA、Kernel PCA、Supervised PCA、UMAPのような強力なグラフベースのベースライン、特に小さなサンプルサイズと高い曲率で、一貫した改善が見られた。 その結果,GTSA-PCAは次元減少に対する統計的および幾何学的アプローチの原則的ブリッジとして位置づけられた。

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