論文の概要: Consistent Geometric Deep Learning via Hilbert Bundles and Cellular Sheaves

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2605.06395v1
• Date: Thu, 07 May 2026 15:08:58 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-05-08 22:27:11.932101
• Title: Consistent Geometric Deep Learning via Hilbert Bundles and Cellular Sheaves
• Title（参考訳）: ヒルベルトバンドルとセルシーブによる一貫した幾何学的深層学習
• Authors: Kartik Tandon, Julian Gould, Tanishq Bhatia, Francesca Dominici, Alejandro Ribeiro, Claudio Battiloro,
• Abstract要約: 本稿では,多様体上の無限次元信号に対する新しい畳み込み学習フレームワークを提案する。 HilbNetsと、より一般的には、2段階のサンプリング手順により、畳み込み操作を実装できるようにします。 我々の結果は、古典ラプラシア語に基づくフレームワークを、各点の信号が自身のヒルベルト空間に存在するような設定へと持ち上げることで、幾何学的学習の全体範囲を広げる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 68.683840670745
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Modern deep learning architectures increasingly contend with sophisticated signals that are natively infinite-dimensional, such as time series, probability distributions, or operators, and are defined over irregular domains. Yet, a unified learning theory for these settings has been lacking. To start addressing this gap, we introduce a novel convolutional learning framework for possibly infinite-dimensional signals supported on a manifold. Namely, we use the connection Laplacian associated with a Hilbert bundle as a convolutional operator, and we derive filters and neural networks, dubbed as \textit{HilbNets}. We make HilbNets and, more generally, the convolution operation, implementable via a two-stage sampling procedure. First, we show that sampling the manifold induces a Hilbert Cellular Sheaf, a generalized graph structure with Hilbert feature spaces and edge-wise coupling rules, and we prove that its sheaf Laplacian converges in probability to the underlying connection Laplacian as the sampling density increases. Notably, this result is a generalization to the infinite-dimensional bundle setting of the Belkin \& Niyogi \cite{BELKIN20081289} convergence result for the graph Laplacian to the manifold Laplacian, a theoretical cornerstone of geometric learning methods. Second, we discretize the signals and prove that the discretized (implementable) HilbNets converge to the underlying continuous architectures and are transferable across different samplings of the same bundle, providing consistency for learning. Finally, we validate our framework on synthetic and real-world tasks. Overall, our results broaden the scope of geometric learning as a whole by lifting classical Laplacian-based frameworks to settings where the signal at each point lives in its own Hilbert space.
• Abstract（参考訳）: 現代のディープラーニングアーキテクチャは、時系列、確率分布、演算子など、本質的に無限次元の洗練された信号とますます競合し、不規則領域上で定義される。 しかし、これらの設定に対する統一的な学習理論は欠如している。 このギャップに対処するために,多様体上で支持される無限次元信号に対する新しい畳み込み学習フレームワークを導入する。 すなわち、ヒルベルトバンドルに付随するラプラシアン接続を畳み込み演算子として使用し、フィルタとニューラルネットワークを導出し、それを「textit{HilbNets}」と呼ぶ。 HilbNetsと、より一般的には、2段階のサンプリング手順により、畳み込み操作を実装できるようにします。 まず、この多様体のサンプリングはヒルベルト特徴空間とエッジワイド結合規則を持つ一般化グラフ構造であるヒルベルトセルラーリーフを誘導し、サンプリング密度が増加するにつれてその層ラプラシアンが基礎となる接続ラプラシアンに確率収束することを示す。 特に、この結果は、グラフラプラシアンを幾何学的学習法の理論的基礎である多様体ラプラシアンに収束するベルキン・アンド・ニヨギの無限次元バンドル設定への一般化である。 第二に、信号を識別し、離散化された(実装可能な)HilbNetsが基盤となる継続的アーキテクチャに収束し、同じバンドルの異なるサンプリングで転送可能であることを証明し、学習の一貫性を提供します。 最後に, 実環境と合成タスクの枠組みを検証した。 全体として、我々の結果は、古典ラプラシアンベースのフレームワークを各点の信号が自身のヒルベルト空間に存在するような設定へと持ち上げることによって、幾何学的学習の全体範囲を広げる。

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