論文の概要: Generalize cross-ratios in n-dimensional Plane-Based Geometric Algebra

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2605.18398v1
• Date: Mon, 18 May 2026 13:43:15 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-05-19 17:57:49.640742
• Title: Generalize cross-ratios in n-dimensional Plane-Based Geometric Algebra
• Title（参考訳）: n次元平面幾何学代数における一般化断面積
• Authors: Enzo Harquin, Stephane Breuils, Pascal Monasse, Venceslas Biri, Vincent Nozick,
• Abstract要約: 平面型幾何代数(PGA)、R(n,0,1)における射影交差比の完全理論を開発し、各階数の幾何学的対象を包含する。 各オブジェクトの種類と構成について、明示的なクロス比式を確立し、それが適切な古典的不変量を取り戻すことを証明し、正準対測定演算子を同定する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.6963596661873952
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We develop a complete theory of projective cross-ratios in n-dimensional Plane-Based Geometric Algebra (PGA), R(n,0,1), covering geometric objects of every grade: finite and ideal points, hyperplanes, and intermediate flats. For each object type and configuration, we establish an explicit cross-ratio formula, prove that it recovers the appropriate classical invariant, and identify the canonical pairwise measurement operator. A systematic duality analysis further revealed that all eight configurations organize into four dual pairs under the Hodge dual, and that all measurement operators reduce to either the commutator or the commutator dual, depending solely on the geometric configuration rather than on object grade. In each case the formula recovers the appropriate classical invariant: signed distance ratios for parallel configurations and sine cross-ratios for secant ones. These results establish the cross-ratio as a grade-agnostic projective invariant within PGA, and provide a constructive foundation for defining n-dimensional homographies directly from prescribed invariants.
• Abstract（参考訳）: n-次元平面型幾何代数(PGA)、R(n,0,1)における射影的交叉比の完全理論を開発し、各グレードの幾何学的対象(有限点、イデアル点、超平面、中間平面)を包含する。 各オブジェクトの種類と構成について、明示的なクロス比式を確立し、それが適切な古典的不変量を取り戻すことを証明し、正準対測定演算子を同定する。 体系的な双対性解析により、すべての8つの構成がホッジ双対の下で4つの双対にまとめられ、全ての測定演算子は、対象の階数ではなく幾何学的な構成に依存するように、可換子または可換子双対に還元されることが明らかとなった。 それぞれの場合、式は適切な古典的不変量、すなわち、平行配置の符号付き距離比と、セカント構成の正弦交叉比を回復する。 これらの結果は、PGA内の次数非依存射影不変量としてクロス比を確立し、所定の不変量から直接n-次元ホモグラフを定義するための構成的基礎を提供する。

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