論文の概要: Coordinate Independent Convolutional Networks -- Isometry and Gauge Equivariant Convolutions on Riemannian Manifolds

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2106.06020v1
• Date: Thu, 10 Jun 2021 19:54:19 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-06-15 07:02:08.411651
• Title: Coordinate Independent Convolutional Networks -- Isometry and Gauge Equivariant Convolutions on Riemannian Manifolds
• Title（参考訳）: 座標独立畳み込みネットワーク -- リーマン多様体上の等長およびゲージ同変畳み込み
• Authors: Maurice Weiler, Patrick Forr\'e, Erik Verlinde, Max Welling
• Abstract要約: 平坦空間と比較して大きな複雑さは、コンボリューション核が多様体にどのようなアライメントを適用するべきかが不明確であることである。 コーディネート化の特定の選択は、ネットワークの推論に影響を与えるべきではない、と我々は主張する。 座標独立と重み共有の同時要求は、ネットワーク上の同変要求をもたらす。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 70.32518963244466
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Motivated by the vast success of deep convolutional networks, there is a great interest in generalizing convolutions to non-Euclidean manifolds. A major complication in comparison to flat spaces is that it is unclear in which alignment a convolution kernel should be applied on a manifold. The underlying reason for this ambiguity is that general manifolds do not come with a canonical choice of reference frames (gauge). Kernels and features therefore have to be expressed relative to arbitrary coordinates. We argue that the particular choice of coordinatization should not affect a network's inference -- it should be coordinate independent. A simultaneous demand for coordinate independence and weight sharing is shown to result in a requirement on the network to be equivariant under local gauge transformations (changes of local reference frames). The ambiguity of reference frames depends thereby on the G-structure of the manifold, such that the necessary level of gauge equivariance is prescribed by the corresponding structure group G. Coordinate independent convolutions are proven to be equivariant w.r.t. those isometries that are symmetries of the G-structure. The resulting theory is formulated in a coordinate free fashion in terms of fiber bundles. To exemplify the design of coordinate independent convolutions, we implement a convolutional network on the M\"obius strip. The generality of our differential geometric formulation of convolutional networks is demonstrated by an extensive literature review which explains a large number of Euclidean CNNs, spherical CNNs and CNNs on general surfaces as specific instances of coordinate independent convolutions.
• Abstract（参考訳）: 深い畳み込みネットワークの大きな成功により、非ユークリッド多様体への畳み込みの一般化に大きな関心がある。 平坦空間に対する大きな複雑度は、畳み込み核が多様体上でどのアライメントを適用するべきかが明らかでないことである。 この曖昧さの根底にある理由は、一般多様体が参照フレーム(ゲージ)の正準選択を伴わないことである。 したがって、カーネルと特徴は任意の座標に対して表現されなければならない。 コーディネート化の特定の選択は、ネットワークの推論に影響を与えるべきではない、と我々は主張する。 座標独立性と重み共有の同時要求は、ネットワークが局所ゲージ変換(局所参照フレームの変更)の下で同変であることを要求することが示される。 したがって、参照フレームの曖昧性は多様体の g-構造に依存するので、対応する構造群 g によりゲージ同値の必要レベルが規定される。 これらのアイソメトリーはG構造の対称性である。 得られた理論はファイバー束の項で座標自由な方法で定式化される。 座標独立畳み込みの設計を例示するために, m\"obius strip 上の畳み込みネットワークを実装した。 畳み込みネットワークの微分幾何学的定式化の一般性は、座標独立畳み込みの特定の例として、一般曲面上の多くのユークリッド cnn,球面 cnn, cnn を説明する広範な文献レビューによって証明される。

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