論文の概要: Geometric structures and deviations on James' symmetric positive-definite matrix bicone domain
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.02483v1
- Date: Tue, 03 Mar 2026 00:10:32 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-03-04 21:38:10.585861
- Title: Geometric structures and deviations on James' symmetric positive-definite matrix bicone domain
- Title（参考訳）: ジェームズ対称正定行列双錐領域の幾何学的構造と偏差
- Authors: Jacek Karwowski, Frank Nielsen,
- Abstract要約: 我々は2つの新しい構造、フィンスラー構造と2つの情報幾何学構造を導入する。
これらの構造は、測地線が適切な座標系における直線に対応することを保証している。
これらのフィンスラー/双対ヘッセン構造のいくつかの応用について議論し、新しい相違点と伝統的な相違点の間に様々な不等式を提供する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 7.183268823159973
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Symmetric positive-definite (SPD) matrix datasets play a central role across numerous scientific disciplines, including signal processing, statistics, finance, computer vision, information theory, and machine learning among others. The set of SPD matrices forms a cone which can be viewed as a global coordinate chart of the underlying SPD manifold. Rich differential-geometric structures may be defined on the SPD cone manifold. Among the most widely used geometric frameworks on this manifold are the affine-invariant Riemannian structure and the dual information-geometric log-determinant barrier structure, each associated with dissimilarity measures (distance and divergence, respectively). In this work, we introduce two new structures, a Finslerian structure and a dual information-geometric structure, both derived from James' bicone reparameterization of the SPD domain. Those structures ensure that geodesics correspond to straight lines in appropriate coordinate systems. The closed bicone domain includes the spectraplex (the set of positive semi-definite diagonal matrices with unit trace) as an affine subspace, and the Hilbert VPM distance is proven to generalize the Hilbert simplex distance which found many applications in machine learning. Finally, we discuss several applications of these Finsler/dual Hessian structures and provide various inequalities between the new and traditional dissimilarities.
- Abstract（参考訳）: 対称正定値行列データセットは、信号処理、統計学、財務学、コンピュータビジョン、情報理論、機械学習など、多くの科学分野において中心的な役割を果たす。
SPD行列の集合は円錐を形成し、下層のSPD多様体の大域座標チャートと見なすことができる。
リッチ微分幾何学構造は、SPD錐多様体上で定義することができる。
この多様体上で最も広く使われている幾何学的枠組みには、アフィン不変リーマン構造と双対情報幾何学的対数決定的障壁構造があり、それぞれが相似性測度(それぞれ距離と発散)に関連付けられている。
本研究では,2つの新しい構造,フィンスラー構造と2つの情報幾何学構造を導入する。
これらの構造は、測地線が適切な座標系における直線に対応することを保証している。
閉双錐領域は、アフィン部分空間としてスペクトル(正の半定次元対角行列の集合)を含み、ヒルベルトVPM距離はヒルベルト単純点距離を一般化することが証明され、機械学習において多くの応用が発見された。
最後に、これらのフィンスラー/双対ヘッセン構造のいくつかの応用について議論し、新しい相違点と伝統的な相違点の間に様々な不等式を提供する。
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