論文の概要: A Riemannian Approach to Low-Rank Optimal Transport

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.12120v1
• Date: Wed, 10 Jun 2026 14:17:08 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-06-11 16:42:38.500979
• Title: A Riemannian Approach to Low-Rank Optimal Transport
• Title（参考訳）: 低ランク最適輸送に対するリーマン的アプローチ
• Authors: Pratik Jawanpuria, Bamdev Mishra,
• Abstract要約: 低ランク最適輸送(OT)は古典的ソルバの2次スケーリングを緩和するが、既存のアプローチは1次ミラーの更新に大きく依存している。 低ランクOTのための統一リーマン幾何学的枠組みを提案し、バランスの取れたランクとアンバランスなランク-$r$正の係数結合をモデル化する。 我々の正則化のない1次および2次解法は、既存の最先端の低ランクOT解法よりも高速な収束と優れた性能を実現する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 10.296598409953278
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Low-rank optimal transport (OT) mitigates the quadratic scaling of classical solvers, yet existing approaches rely heavily on first-order mirror-descent updates that require careful hyperparameter tuning and ignore the optimization landscape's curvature. To address these limitations, we propose a unified Riemannian geometric framework for low-rank OT, modeling balanced and unbalanced rank-$r$ positive factored couplings as novel smooth embedded submanifolds of the positive orthant. By equipping these manifolds with the Fisher-Rao product metric, we derive tractable formulations for Riemannian projectors, retractions, and Hessian-vector products. Our cost-agnostic framework seamlessly extends to linear OT, Gromov-Wasserstein (GW), fused GW, and their unbalanced counterparts. For balanced OT, our geometric ingredients are computed via efficient conjugate-gradient and iterative Bregman updates. For the unbalanced OT, our operations elegantly reduce to closed-form scalings, completely eliminating inner iterative loops. In both regimes, per-iteration complexity scales linearly with dataset size, and we provide a rank-sufficiency certificate for global optimality verification. Extensive experiments across a range of problem sizes demonstrate that our regularization-free first- and second-order solvers achieve faster convergence and superior performance over existing state-of-the-art low-rank OT solvers.
• Abstract（参考訳）: 低ランク最適輸送(OT)は古典的ソルバの2次スケーリングを緩和するが、既存のアプローチは、注意深いハイパーパラメータチューニングを必要とし、最適化ランドスケープの曲率を無視する一階ミラーの更新に大きく依存している。 これらの制限に対処するため、我々は低ランクOTのための統一リーマン幾何学的枠組みを提案し、正のオルサントの新しい滑らかな埋め込み部分多様体として、バランスの取れた階数と非バランスな階数-$r$正の因子結合をモデル化する。 これらの多様体にフィッシャー・ラオ積計量を組み込むことで、リーマン射影、簡約、およびヘッセンベクトル積に対して、引き込み可能な定式化を導出する。 我々のコスト非依存のフレームワークは、線形OT、Gromov-Wasserstein (GW)、融合GW、およびそれらの不均衡なフレームワークにシームレスに拡張する。 バランスの取れた OT に対して,我々の幾何学的成分は,効率的な共役次数および反復的なブレグマン更新によって計算される。 不均衡なOTに対して、我々の操作はエレガントに閉形式のスケーリングに還元され、内部反復ループを完全に排除する。 いずれの場合も,データセットサイズに比例して項目毎の複雑性は線形にスケールし,グローバルな最適性検証のためのランク充足証明を提供する。 様々な問題サイズにわたる大規模な実験により、我々の正則化のない1階と2階の解法は、既存の最先端のOT解法よりも高速な収束と優れた性能が得られることを示した。

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