論文の概要: Quantum codes and optimal pure quantum $(r,δ)$-LRCs via the MP construction

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.14253v1
• Date: Fri, 12 Jun 2026 08:33:04 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-06-15 16:00:42.832078
• Title: Quantum codes and optimal pure quantum $(r,δ)$-LRCs via the MP construction
• Title（参考訳）: MP構成による量子符号と最適純量子$(r,δ)$-LRC
• Authors: Meng Cao, Kun Zhou,
• Abstract要約: 我々は、新しい量子コードと量子$(r,)$-LRCを構築するために、その定義行列が$$$-optimal defined$-OD)行列であるMP符号を用いる。 Grasslのデータベースに保存されている最もよく知られたレコードを超える、222ドルの記録破りの量子コードを提示します。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 24.421783085364197
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: In this paper, we employ MP codes whose defining matrices are $τ$-optimal defining ($τ$-OD) matrices to construct new quantum codes and quantum $(r,δ)$-LRCs. Specifically, we report the following results: We establish a unified $τ$-monomial decomposition theorem for invertible self-adjoint matrices over finite fields of arbitrary characteristic, which generalizes the result in "Quantum codes using the $τ$-OD MP construction" where the characteristic was required to be odd. Based on this theorem, we prove the existence of $τ$-OD matrices over $\mathbb{F}_{q^2}$ for any characteristic and demonstrate that there exist several new infinite families of $τ$-OD matrices over $\mathbb{F}_{q^2}$ of characteristic $2$. As an application of MP codes involving $τ$-OD matrices, we construct several infinite families of quantum codes with flexible parameters. Within this framework, we present $222$ record-breaking quantum codes that surpass the best-known records maintained in Grassl's database. We propose two effective schemes for constructing optimal pure quantum $(r,δ)$-LRCs via MP codes. Accordingly, we construct four new infinite families of optimal pure quantum $(r,δ)$-LRCs with flexible parameters. Notably, we report an interesting phenomenon by exhibiting $30$ optimal pure quantum $(r,δ)$-LRCs derived from our framework; that is, there exist quantum codes that are not only optimal pure quantum $(r,δ)$-LRCs but also, according to Grassl's database, best-known, optimal, or record-breaking quantum codes. To the best of our knowledge, the new discovery that quantum codes are simultaneously optimal pure quantum $(r,δ)$-LRCs and record-breaking quantum codes has not been previously reported in the literature.
• Abstract（参考訳）: 本稿では、新しい量子コードと量子$(r,δ)$-LRCを構築するために、$τ$-optimal defined(τ$-OD)行列を定義するMP符号を用いる。 具体的には、任意の特性の有限体上の可逆自己共役行列に対して、統一された$τ$-モノミアル分解定理を確立し、「$τ$-OD MP構成を用いた量子符号」の結果を一般化する。 この定理に基づいて、任意の特性に対して$\mathbb{F}_{q^2}$上の$τ$-OD行列の存在を証明し、特性の$2$に対して$τ$-OD行列の新しい無限族が存在することを示す。 τ$-OD行列を含むMP符号の応用として、フレキシブルパラメータを持つ量子符号の無限の族を構成する。 このフレームワーク内では、Grasslのデータベースに保存されている最もよく知られたレコードを超える、222ドルの記録破りの量子コードを提示します。 本稿では,MP符号による最適純量子$(r,δ)$-LRCを構成するための2つの効果的なスキームを提案する。 したがって、フレキシブルパラメータを持つ最適純量子$(r,δ)$-LRCの4つの新しい無限族を構成する。 特に, 最適純量子$(r,δ)$-LRC だけでなく, Grassl のデータベースによれば, 最適純量子$(r,δ)$-LRC の量子符号が存在する。 我々の知る限りでは、量子符号は同時に最適な純量子$(r,δ)$-LRCであり、記録破りの量子符号であるという新たな発見は文献ではこれまで報告されていない。

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