論文の概要: Statistical Properties of $k$-means Clustering for Data Missing Completely at Random

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.01945v1
• Date: Thu, 02 Jul 2026 09:34:44 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-07-03 19:45:08.774454
• Title: Statistical Properties of $k$-means Clustering for Data Missing Completely at Random
• Title（参考訳）: ランダムに完全に欠落したデータに対する$k$-meansクラスタリングの統計的特性
• Authors: Xin Guan,
• Abstract要約: 欠落データの存在下での$k$-meansクラスタリングの統計特性について検討する。 ランダム(MCAR)機構の欠如について、推定されたクラスタセンターの$sqrtn$収束率と正規性から導出する。 これらの結果は、欠落データ-$k$-meansの理論的保証を提供する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 7.3226942109207895
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: The classical $k$-means clustering cannot be directly used to incomplete data, and existing $k$-means-based clustering for missing data primarily focus on improving the practical accuracy of clustering, whereas most of them lack theoretical guarantees in the asymptotic sense. In this paper, we investigate the statistical properties of $k$-means clustering in the presence of missing data. We first establish the $\sqrt{n}$-excess risk bound and prove the consistency of the estimated cluster centers under general missing mechanisms. For the Missing Completely at Random (MCAR) mechanism, we further derive the $\sqrt{n}$-convergence rate and asymptotic normality of the estimated cluster centers. Moreover, we study in what cases the cluster centers estimated by incomplete data converge to the true cluster centers of original fully observed data, and give a sufficient condition about the missing probability and the separation among true clusters. These results provide a theoretical guarantee for missing-data-$k$-means. Notably, our analysis reveal that under MCAR mechanism, both achieving the $\sqrt{n}$-rate and converging to the true cluster centers require $k$ true centers to be distinct in every dimension, highlighting the significant challenges of application in high-dimensional regimes. Finally, we conduct numerical simulations on synthetic incomplete datasets to support our theoretical analysis results.
• Abstract（参考訳）: 従来の$k$-meansクラスタリングは、不完全データに直接使用することはできないが、既存の$k$-meansベースのクラスタリングは、主にクラスタリングの実用的精度の改善に焦点を当てている。 本稿では,不足データの存在下での$k$-meansクラスタリングの統計特性について検討する。 まず、リスクバウンドを$\sqrt{n}$-excessと定め、一般的な欠落メカニズムの下で推定されたクラスタセンターの整合性を証明する。 ランダム(MCAR)機構の欠如について、推定されたクラスター中心の$\sqrt{n}$-convergence rateと漸近正規性(英語版)を導出する。 さらに、不完全データから推定されるクラスタ中心が、元の完全に観測されたデータの真のクラスタ中心に収束する場合について検討し、真のクラスタ間の欠落確率と分離について十分な条件を与える。 これらの結果は、欠落データ-$k$-meansの理論的保証を提供する。 特に、MCARのメカニズムの下では、$\sqrt{n}$-rateを達成し、真のクラスタセンターに収束するためには、すべての次元において$k$真のセンターを区別する必要がある。 最後に, 理論的解析結果を支援するために, 合成不完全データセットの数値シミュレーションを行う。

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