論文の概要: Fisher Widths: Local Learning Geometry and Anisotropic Recovery

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.20578v1
• Date: Wed, 22 Jul 2026 10:07:03 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-07-24 18:26:25.173441
• Title: Fisher Widths: Local Learning Geometry and Anisotropic Recovery
• Title（参考訳）: Fisher Widths: 局所学習幾何学と異方性回復
• Abstract要約: 予備フィッシャー幅$w_G(T) = w(G1/2T)$, 逆フィッシャー幅$w_G-1(T) = w(G-1/2T)$, 逆フィッシャー距離$w_G-1(T)$。 フィッシャー-正則損失に対して,w_G(H_r)/sqrt n) が十分に小さいフィッシャー球上で達成できることを証明した。 スパースリカバリでは、結果の幾何はスペールにのみ依存する
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We study Gaussian-width complexity on statistical manifolds through a pair of functionals: the primal Fisher width $w_G(T) = w(G^{1/2}T)$, induced by the Fisher metric, and the inverse-Fisher width $w_{G^{-1}}(T) = w(G^{-1/2}T)$, induced by the inverse Fisher metric. The two widths play complementary statistical roles. On the learning side, the Fisher width measures the size of local parameter fluctuations in the geometry induced by the Fisher information. For Fisher-regular losses, we prove that the scale \(w_G(H_r)/\sqrt n\) is attained on sufficiently small Fisher balls. On the recovery side, the inverse-Fisher width captures the effect of anisotropic Gaussian measurements whose covariance is determined by the inverse Fisher information. For sparse recovery, the resulting geometry depends not only on sparsity but also on the position of the active coordinates in the Fisher spectrum. We obtain a two-sided estimate for the corresponding statistical dimension, together with support-sensitive recovery estimates and a natural ordering of supports with different curvature profiles. Finally, we establish a sharp relation between the primal and inverse-Fisher widths. On any common compact coordinate set $T$, they satisfy \[ w_G(T)w_{G^{-1}}(T)\geq w(T)^2. \] Thus, Fisher anisotropy may transfer complexity from one geometry to the other, but cannot reduce both widths relative to the Euclidean scale.
• Abstract（参考訳）: 一対の汎函数を通して統計多様体上のガウス幅複雑性を考察する: 主フィッシャー幅$w_G(T) = w(G^{1/2}T)$, フィッシャー距離$w_{G^{-1}}(T) = w(G^{-1/2}T)$, 逆フィッシャー距離$w_G(T)$, 逆フィッシャー距離$w(G^{1/2}T)$。 2つの幅は相補的な統計的な役割を担っている。 学習側では、フィッシャー幅はフィッシャー情報によって誘導される幾何学における局所パラメータ変動の大きさを測定する。 フィッシャー正則損失に対して、スケール \(w_G(H_r)/\sqrt n\) が十分に小さいフィッシャー球上で達成されることを示す。 回復側では、逆フィッシャー幅は、逆フィッシャー情報によって共分散が決定される異方性ガウス測度の影響を捉えている。 スパースリカバリでは、結果として得られる幾何はスパーシティだけでなく、フィッシャースペクトルにおける活性座標の位置にも依存する。 本研究では, 対応する統計次元の両面的推定値と, 異なる曲率プロファイルを持つ支持率の自然な順序推定値を求める。 最後に、プライマリと逆フィッシャー幅の鋭い関係を確立する。 任意の共通コンパクト座標集合 $T$ 上で、それらは \[ w_G(T)w_{G^{-1}}(T)\geq w(T)^2 を満たす。 したがって、フィッシャー異方性(Fisher anisotropy)は、1つの幾何学からもう1つの幾何学へ複雑性を伝達するが、ユークリッドスケールに対する両方の幅を減少させることはできない。

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