論文の概要: Sharp Root Anti-Concentration via Projective Incidence and Ordered Root Laws

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.01670v1
• Date: Mon, 03 Aug 2026 04:04:56 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-08-04 21:56:46.37554
• Title: Sharp Root Anti-Concentration via Projective Incidence and Ordered Root Laws
• Title（参考訳）: プロジェクティブインシデンスと順序付きルート法によるシャープルートのアンチ濃縮
• Abstract要約: 最低ケース間隔ヒッティング定数は, 区間平均射影入射速度のA$倍であることを示す。 また、トランジッション・トゥ・レグレット・チェーンを完成させる2つのグラフ学習アプリケーションも提供します。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 12.204228610806181
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: This paper answers the one-dimensional local root anti-concentration questions posed by Balcan, Pegden, and Sharma in the context of online optimization of piecewise-Lipschitz functions. For a homogeneous feature curve and coefficients whose density relative to the uniform law on a symmetric convex body $K$ is bounded by $A$, we show that the worst-case interval-hitting constant equals $A$ times a section-averaged projective incidence speed. For cube-supported coefficients, this speed is equivalent, up to universal constants, to the projective Lipschitz constant. This yields a sharp, dimension-free characterization and removes the previous $\sqrt N$ loss. For monic degree-$d$ polynomials under arbitrary coefficient laws, we prove that the interval-hitting constant is finite if and only if the ordered real-root laws have bounded densities, with a factor-$d$ comparison that is sharp. Conditional and joint coefficient-space area formulas, together with a two-chart certificate, make this criterion verifiable for dependent and singular coefficient laws. We also give two graph-learning applications that complete the transition-to-regret chain. A cost-sensitive Gaussian-RBF harmonic classifier uses the projective incidence theorem and achieves expected regret $\widetilde O((An^2D e^{BD}/\ell+1)\sqrt T)$. A common-offset polynomial-kernel model uses rigid translation of the ordered roots and achieves $\widetilde O((qn^2κ+1)\sqrt T)$ regret, even when the induced coefficient law is singular in the ambient coefficient space.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,バルカン,ペグデン,シャーマによる一次元局所根対集中問題のオンライン最適化の文脈において,一次元局所根対集中問題に答える。 対称凸体上の一様法則に対する密度が$K$で有界な等質な特徴曲線と係数に対して、最悪のケースの間隔隠蔽定数は、断面平均射影入射速度の$A$と等しいことを示す。 立方体支持係数に対して、この速度は射影リプシッツ定数まで同値である。 これにより、シャープで次元のない特徴づけが得られ、以前の$\sqrt N$損失が取り除かれる。 任意の係数法則の下でのモニック次数-$d$多項式に対して、区間ヒッティング定数が有限であることと、順序実根法則が有界密度を持つときのみ、係数-$d$比較がシャープであることを証明する。 条件付きおよび結合係数空間領域の公式は、2チャートの証明とともに、この基準を依存係数法則および特異係数法則に検証できるようにする。 また、トランジッション・トゥ・レグレット・チェーンを完成させる2つのグラフ学習アプリケーションも提供します。 コスト感受性のガウス-RBF調和分類器は射影入射定理を使い、期待された後悔の$\widetilde O((An^2D e^{BD}/\ell+1)\sqrt T)$を達成する。 共通オフセット多項式カーネルモデルは、順序付けられた根の厳密な変換を使い、周囲係数空間において誘導係数法則が特異である場合でも、$\widetilde O((qn^2κ+1)\sqrt T)$ regretを達成する。

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