論文の概要: Verifiable Regularity Criterion for Conditional Expectation Operators and Conditional Mean Embeddings with Applications to Nonparametric Regression, Bayesian Inverse Problems, and Koopman Operators

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.06155v1
• Date: Thu, 06 Aug 2026 15:22:33 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-08-07 17:43:06.781609
• Title: Verifiable Regularity Criterion for Conditional Expectation Operators and Conditional Mean Embeddings with Applications to Nonparametric Regression, Bayesian Inverse Problems, and Koopman Operators
• Title（参考訳）: 非パラメトリック回帰、ベイズ逆問題、クープマン演算子に対する条件付き期待演算子および条件付き平均埋め込みに対する検証可能な正則性基準
• Abstract要約: 条件付き期待演算子(CEO)とその関連する条件付き平均埋め込み(CME)は、応用数学や機械学習において中心的な役割を果たす。 このような写像特性は条件法則のラドン-ニコディム密度の正則性によって特徴づけられることを示す。 結果として得られるフレームワークは、確率、演算子理論、カーネルメソッド、ダイナミックスにまたがる条件付き期待演算子について統一的な視点を提供する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
• Abstract: Conditional expectation operators (CEOs) and their associated conditional mean embeddings (CMEs) play a central role across applied mathematics and machine learning, appearing in nonparametric regression, Bayesian inverse problems, and Koopman operator theory. A fundamental question is when a CEO maps a function space on $\mathcal{Y}$ into a prescribed function space on $\mathcal{X}$, particularly a reproducing kernel Hilbert space (RKHS). We show that such mapping properties are characterized by the regularity of the Radon--Nikodym density of the conditional law, and establish a simple, verifiable sufficient condition under which the CEO is bounded and Hilbert--Schmidt. For RKHSs norm-equivalent to Sobolev spaces, this condition reduces to Sobolev regularity of the conditional density. The result yields a direct route to validate CME representations and error bounds for Galerkin-type and CME-based estimators. We verify the regularity condition in three settings: nonparametric regression, Bayesian inverse problems, and Koopman operator theory for stochastic dynamical systems. We show in each case that classical regularity results on the underlying probabilistic model imply the required mapping properties. The resulting framework offers a unified perspective on conditional expectation operators across probability, operator theory, kernel methods, and stochastic dynamics.
• Abstract（参考訳）: 条件期待作用素(CEO)とその関連する条件平均埋め込み(CME)は、非パラメトリック回帰、ベイズ逆問題、クープマン作用素理論に現れる応用数学や機械学習において中心的な役割を果たす。 根本的な問題は、CEOが $\mathcal{Y}$ 上の関数空間を $\mathcal{X}$ 上の所定の関数空間、特に再生カーネルヒルベルト空間 (RKHS) にマッピングする場合である。 このような写像特性は条件法則のラドン-ニコディム密度の正則性によって特徴づけられ、CEOとヒルベルト-シュミットが有界であるような単純で検証可能な条件を確立する。 RKHS がソボレフ空間と同値である場合、この条件は条件密度のソボレフ正則性に還元される。 その結果、Galerkin型およびCMEベースの推定器に対するCME表現とエラー境界を検証する直接的な経路が得られる。 非パラメトリック回帰、ベイズ逆問題、確率力学系に対するクープマン作用素理論の3つの設定で正則性条件を検証する。 それぞれのケースにおいて、古典的正則性が基礎となる確率モデルにおいて必要となる写像特性を暗示することを示す。 結果として得られるフレームワークは、確率、演算子理論、カーネル法、確率力学をまたいだ条件付き期待作用素の統一的な視点を提供する。

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