論文の概要: A Lagrangian View of Flow Matching

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.00198v2
• Date: Sat, 05 Sep 2026 02:17:57 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-09-10 02:59:02.188145
• Title: A Lagrangian View of Flow Matching
• Title（参考訳）: フローマッチングのラグランジアン的視点
• Abstract要約: ラグランジアン(粒子中心)の観点から、別のボトムアップ機械的導出を示す。 この部分微分方程式の解法はフローマッチングの直線軌道を解析的に得ることを示した。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 17.972940829317455
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Modern explicit-time generative models, such as Flow Matching [Lipman et al., 2023] and Rectified Flow [Liu et al., 2023], are typically derived top-down via Optimal Transport and the continuity equation. This standard Eulerian approach focuses on the macroscopic transport of probability mass. In this paper, we present an alternative, bottom-up mechanical derivation grounded in a Lagrangian (particle-centric) perspective. By analyzing the local Taylor expansion of a continuous denoiser, we motivate a strict invariance condition required for optimal, singlestep generation: the conservation of target identity. Enforcing this condition yields a governing quasi-linear advection Partial Differential Equation (PDE). We demonstrate that solving this PDE via the Method of Characteristics analytically yields the straight-line trajectories of Flow Matching. This geometric perspective isolates the Jacobian of the denoiser as the primary source of trajectory curvature, providing a direct mathematical explanation for why straight-line flows enable massive step sizes, and why empirical models require distillation to flatten intersecting characteristics.
• Abstract（参考訳）: フローマッチング (Lipman et al , 2023) やRectified Flow (Liu et al , 2023) のような現代の明示的な時間生成モデルは、通常、最適輸送と連続性方程式を通じてトップダウンから導出される。 この標準ユーレアー的アプローチは、確率質量のマクロな輸送に焦点を当てている。 本稿では,ラグランジアン(粒子中心)の観点から,ボトムアップな機械的導出法を提案する。 連続デノイザの局所テイラー展開を解析することにより、最適な単一ステップ生成に必要な厳密な不変条件、すなわちターゲットアイデンティティの保存を動機付ける。 この条件を強制すると、支配準線形対流部分微分方程式(PDE)が得られる。 我々は,このPDEを特徴量法で解くことにより,フローマッチングの直線軌道を解析的に得ることを示した。 この幾何学的視点は、軌道曲率の一次源としてデノイザーのヤコビアンを分離し、なぜ直線流が大きなステップサイズを実現するのか、またなぜ実験モデルが断面積特性を平坦化するために蒸留を必要とするのかを直接数学的に説明する。

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