論文の概要: One-Shot and Concurrent Hitting Times for Grover-Coined Quantum Walks on Cubelike Graphs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.04503v1
• Date: Thu, 03 Sep 2026 21:44:45 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-09-07 18:15:23.836751
• Title: One-Shot and Concurrent Hitting Times for Grover-Coined Quantum Walks on Cubelike Graphs
• Title（参考訳）: 立方体グラフ上のグラバー結合量子ウォークのワンショット・コンカレントハッティング時間
• Abstract要約: 立方体グラフ上の離散時間Grover-coined量子ウォークのワンショットと同時打撃について検討する。 我々の結果はケンプのハイパーキューブ衝撃現象を延長する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We study the one-shot and concurrent hitting for the discrete-time Grover-coined quantum walk on cubelike graphs $G=\text{Cay}(\mathbb Z_2^d,Ω)$ of degree $Δ=|Ω|$. Starting from the vertex labeled $0$, we identify $σ=\bigoplus_{ω\inΩ}ω$ as a natural target vertex; for the hypercube, $σ$ is precisely the antipodal vertex. For families with $Δ\to\infty$, let $T$ be an integer having the same parity as $Δ$ and satisfying $ \left|T-\frac{πΔ}{2}\right|\leq 1. $ We show that the probability $p_T(σ)$ of finding the walker at $σ$ when it is measured at time $T$ satisfies $$ p_T(σ)=1-O(Δ^{-1/5}). $$ Thus the target is found with probability tending to one after $Θ(Δ)$ steps. For the concurrently measured walk, let $H_T^{\mathrm{Conc}}(σ)$ denote the probability that the target is detected at or before time $T$ when it is tested after every step. We prove $$ p_T(σ)\leq T H_T^{\mathrm{Conc}}(σ), $$ which implies $H_T^{\mathrm{Conc}}(σ)=Ω(Δ^{-1})$ over the same time scale. The proof uses the Walsh-Fourier decomposition, an exact two-dimensional reduction of each Fourier mode, and a universal second-moment identity for the associated character sums. Our results extend Kempe's hypercube hitting phenomenon (J. Kempe, Probab. Theory Relat. Fields 133, 215-235, 2005) to arbitrary cubelike generating sets and establish the conjectured asymptotic hitting behavior for cublelike and augmented cubes in Mulherkar, Rajdeepak and Sunitha (Int. J. Quantum Inf. 20,2250020, 2022)
• Abstract（参考訳）: 立方体グラフ上の離散時間Grover-coined量子ウォークのワンショットおよび同時打撃について、次数$Δ=|Ω|$の $G=\text{Cay}(\mathbb Z_2^d,Ω)$について検討する。 0$ とラベルされた頂点から、$σ=\bigoplus_{ω\inΩ}ω$ を自然な対象頂点として同定する。 Δ\to\infty$ を持つ族に対して、$T$ を $Δ$ と同じパリティを持ち、$ \left|T-\frac{πΔ}{2}\right|\leq 1 を満たす整数とする。 p_T(σ)=1-O(Δ^{-1/5} の確率は、時間で測られたときに、$σ$でウォーカーを見つける確率が$p_T(σ)$であることを示す。 $$ なので、ターゲットは確率が 1 に 1 に 1 に近づいたときに見つかる。 同時に測定されたウォークに対して、$H_T^{\mathrm{Conc}}(σ)$は、各ステップ後にテストされたときにターゲットが検出される確率を$T$とする。 p_T(σ)\leq T H_T^{\mathrm{Conc}}(σ), $$$は、同じ時間スケールで$H_T^{\mathrm{Conc}}(σ)=Ω(Δ^{-1})$を意味する。 この証明はウォルシュ・フーリエ分解(Walsh-Fourier decomposition)、それぞれのフーリエモードの正確な2次元還元、および関連する文字和に対する普遍的な第二モーメント恒等式(universal second-moment identity)を用いている。 我々の結果はケンプの超キューブ打撃現象(J. Kempe, Probab. Theory Relat. Fields 133, 215-235, 2005)を任意の立方体状生成集合に拡張し、Mulherkar, Rajdeepak and Sunitha (Int. J. Quantum Inf. 20,2250020, 2022)におけるキューブ状および拡張立方体に対する予測漸近打撃挙動を確立する。

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