論文の概要: Permanents of matrix ensembles: computation, distribution, and geometry

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2602.10141v3
• Date: Mon, 16 Feb 2026 18:03:39 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-02-17 16:22:49.630438
• Title: Permanents of matrix ensembles: computation, distribution, and geometry
• Title（参考訳）: 行列アンサンブルの永続性:計算,分布,幾何学
• Authors: Igor Rivin,
• Abstract要約: 我々はGPUを使用して、$mathbbC,$mathbbR,$ $mathbbF_p$および$mathbbQ.$以上の永久体の計算を劇的に高速化する。 我々は、一元群における恒久的な測地学について研究する。 恒等式から$n$-サイクル置換行列への測地論について、普遍スケーリング関数 $f(t)=frac1nln|perm((t))|$ は$n$ in とは独立である。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We report on a computational and experimental study of permanents. On the computational side, we use the GPU to greaatly accelerate the computation of permanents over $\mathbb{C},$ $\mathbb{R},$ $\mathbb{F}_p$ and $\mathbb{Q}.$ First, for Haar-distributed unitary matrices~$U$, the permanent $\perm(U)$ follows a circularly-symmetric complex Gaussian distribution $\mathcal{CN}(0,σ^2)$ -- we confirm this via a number of tests for $n$ up to~23 with $50{,}000$ samples. The DFT matrix permanent is an extreme outlier for every prime $n\ge 7$. In contrast, for Haar-random \emph{orthogonal} matrices~$O$, the permanent $\perm(O)$ is approximately real Gaussian but with positive excess kurtosis that decays as~$O(1/n)$, indicating slower convergence. For matrices with Gaussian entries (GUE, GOE, Ginibre), the permanent follows an $α$-stable distribution with stability index $α\approx 1.0$--$1.4$, well below the Gaussian value $α=2$. We test Aaronson's conjecture that $|\perm(X)|^2$ is asymptotically lognormal for Gaussian~$X$: it is plausible for the complex Ginibre and GOE ensembles, but appears to fail for GUE and real Ginibre, where the $α$-stable tails prevent convergence. Anti-concentration, however, holds for all Gaussian ensembles and is more robust than for Haar unitaries. Secondly, we study the permanent along geodesics on the unitary group. For the geodesic from the identity to the $n$-cycle permutation matrix, we find a universal scaling function $f(t)=\frac{1}{n}\ln|\perm(γ(t))|$ that is independent of~$n$ in the large-$n$ limit, with a midpoint value \[ \perm(γ({\textstyle\frac12})) = (-1)^{(n-1)/2}\cdot 2e^{-n}\bigl(1+\tfrac{1}{3n}+O(n^{-2})\bigr) \] for odd~$n$ and zero for even~$n$. We also study the geodesic forom the identity to the DFT matrix.
• Abstract（参考訳）: 永久体の計算および実験的研究について報告する。 計算面では、GPUを用いて、$\mathbb{C},$\mathbb{R},$$\mathbb{F}_p$および$\mathbb{Q}の計算を劇的に高速化する。 $ First, for Haar-distributed unitary matrices~$U$, the permanent $\perm(U)$ follow a circularlysymmetric complex Gaussian distribution $\mathcal{CN}(0,σ^2)$ -- 我々はこれを、50{,}000$のサンプルで$n$から23までの多くのテストで確認する。 DFT行列は、すべての素数$n\ge 7$に対して極値である。 対照的に、Haar-random \emph{orthogonal} 行列~$O$ の場合、永遠の$\perm(O)$ は概実ガウスであるが、約$O(1/n)$ で崩壊する正の余剰曲率を持つ。 ガウス成分 (GUE, GOE, Ginibre) を持つ行列に対しては、恒久的な分布は安定性指数 $α\approx 1.0$-$1.4$ で、ガウス値 $α=2$ 以下である。 アーロンソンの予想によれば、$|\perm(X)|^2$ はガウス–$X$ に対して漸近的に対数正規である。 しかし、反集中は全てのガウスのアンサンブルに当てはまり、ハール・ユニタリーよりも頑丈である。 第2に、一元群における恒久的な測地学について研究する。 単位元から$n$-サイクルの置換行列への測地線について、任意のスケーリング関数 $f(t)=\frac{1}{n}\ln|\perm(γ(t))|$ は大$n$極限において~$n$ の独立であり、中間点値 \[ \perm(γ({\textstyle\frac12})) = (-1)^{(n-1)/2}\cdot 2e^{-n}\bigl(1+\tfrac{1}{3n}+O(n^{-2})\bigr) \] は奇数~$n と偶数~$n$ に対して 0 である。 また,DFTマトリクスに対するジオデシック・フォロムの同一性についても検討した。

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