論文の概要: Near-Optimal Quantum Lower Bounds for Convex Optimization via Fourier Rank
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.09035v1
- Date: Tue, 08 Sep 2026 17:01:51 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-09-11 14:58:01.822339
- Title: Near-Optimal Quantum Lower Bounds for Convex Optimization via Fourier Rank
- Title（参考訳）: フーリエランクによる凸最適化のための準最適量子下界
- Abstract要約: 任意の単位線形対象に対して、加算目的誤差$(n-2)$が$!left(fracnlog n,loglog nright)$メンバシップクエリで正確に実現可能なポイントを返すアルゴリズムを示す。
同じ下界は、返却された点がほぼ実現可能であり、実現可能な集合から$(n-2)$の範囲内でしか持たないことを示すことができる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.5601262095726987
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We establish a near-linear quantum query lower bound for high-accuracy convex optimization over an explicit family of $n$-dimensional ellipsoids. We focus on linear optimization with an explicitly given objective, where the feasible set is accessed through a membership oracle. We show that any algorithm that, for every unit linear objective, returns an exactly feasible point with additive objective error $Θ(n^{-2})$ requires $Ω\!\left(\frac{n}{\log n\,\log\log n}\right)$ membership queries. The same lower bound can be shown to hold if the returned point is only required to be approximately feasible, within $Θ(n^{-2})$ distance from the feasible set. This resolves, up to logarithmic factors, an open question posed by Chakrabarti, Childs, Li, and Wu~(\textit{Quantum}, 2020) and by van Apeldoorn, Gilyén, Gribling, and de Wolf~(\textit{Quantum}, 2020). Coupled with the upper bounds in these papers, the query complexity of high-accuracy convex optimization is characterized tightly up to logarithmic factors. The proof is built around a lower bound for determinant computation that is derived via a novel polynomial method based on Fourier-rank. In the continuous matrix phase-query model, computing the determinant of a real $n\times n$ matrix requires at least $n/2$ matrix-vector product queries. The construction also yields an $Ω(n)$ phase-query lower bound for estimating the minimum eigenvalue of a real symmetric $n\times n$ matrix to additive accuracy $Θ(n^{-2})$. These results extend the determinant and minimum-eigenvalue lower bounds of Childs, Hung, and Li~(ICALP 2021) from finite fields to the real-valued setting. Based on the same constructions, we also prove a near-optimal gradient-query lower bound for constant-accuracy optimization of smooth and strongly convex functions.
- Abstract（参考訳）: 我々は,約$n$次元楕円体を明示する族に対して,高精度凸最適化のための線形量子クエリの下界を確立する。
目的を明示的に指定して線形最適化に焦点を合わせ、その実現可能な集合は会員の託宣によってアクセスされる。
任意の単位線型対象に対して、加法的目的誤差$ (n^{-2})$で正確に実現可能な点を返すアルゴリズムは、$Ω\!
\left(\frac{n}{\log n\,\log\log n}\right)$ メンバシップクエリ。
同じ下界は、返却された点が約可約である必要がなければ、実現可能な集合から$$ (n^{-2})$ の範囲内で保持できることを示すことができる。
これは対数的要因(Chakrabarti, Childs, Li, and Wu~(\textit{Quantum}, 2020) と van Apeldoorn, Gilyén, Gribling, de Wolf~(\textit{Quantum}, 2020) によって提起されたオープンな質問である。
これらの論文の上位境界と組み合わせると、高精度凸最適化のクエリ複雑性は対数的要因に強く依存する。
この証明は、フーリエランクに基づく新しい多項式法によって導出される行列式計算の下位境界を中心に構築される。
連続行列位相クエリモデルでは、実$n\times n$行列の行列式を計算するには、少なくとも$n/2$行列ベクトル積クエリが必要である。
この構成はまた、実対称な$n\times n$行列の最小固有値を加法精度$(n^{-2})$に推定するために$Ω(n)$相列下界を与える。
これらの結果は、子、Hung、Li~(ICALP 2021)の行列式と最小固有値の下界を有限体から実値設定へと拡張する。
同じ構成に基づいて、滑らかで強い凸関数の定数精度最適化のために、ほぼ最適勾配行列の下界も証明する。
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