論文の概要: Hardness of High-Dimensional Linear Classification

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.19061v1
• Date: Thu, 19 Mar 2026 15:53:41 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-03-20 17:19:06.243316
• Title: Hardness of High-Dimensional Linear Classification
• Title（参考訳）: 高次元線形分類の硬さ
• Authors: Alexander Munteanu, Simon Omlor, Jeff M. Phillips,
• Abstract要約: 我々は、最大半空間離散性問題に対する次元下界の新たな指数関数を確立する。 どちらも計算幾何学と機械学習の基本的問題であり、その正確で近似的な形式である。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 58.29089693778071
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We establish new exponential in dimension lower bounds for the Maximum Halfspace Discrepancy problem, which models linear classification. Both are fundamental problems in computational geometry and machine learning in their exact and approximate forms. However, only $O(n^d)$ and respectively $\tilde O(1/\varepsilon^d)$ upper bounds are known and complemented by polynomial lower bounds that do not support the exponential in dimension dependence. We close this gap up to polylogarithmic terms by reduction from widely-believed hardness conjectures for Affine Degeneracy testing and $k$-Sum problems. Our reductions yield matching lower bounds of $\tildeΩ(n^d)$ and respectively $\tildeΩ(1/\varepsilon^d)$ based on Affine Degeneracy testing, and $\tildeΩ(n^{d/2})$ and respectively $\tildeΩ(1/\varepsilon^{d/2})$ conditioned on $k$-Sum. The first bound also holds unconditionally if the computational model is restricted to make sidedness queries, which corresponds to a widely spread setting implemented and optimized in many contemporary algorithms and computing paradigms.
• Abstract（参考訳）: 我々は、線形分類をモデル化した最大半空間離散性問題に対して、新しい指数指数的下界を確立する。 どちらも計算幾何学と機械学習の基本的問題であり、その正確で近似的な形式である。 しかし、それぞれ$O(n^d)$と$\tilde O(1/\varepsilon^d)$上界のみが知られ、次元依存の指数性をサポートしない多項式の下界によって補される。 Affine Degeneracy test と $k$-Sum problem に対する広く信じられている硬さ予想の削減により、このギャップを多元対数項に閉じる。 我々の還元は Affine Degeneracy test に基づく $\tildeΩ(1/\varepsilon^d)$ と $\tildeΩ(1/\varepsilon^{d/2})$ と $k$-Sum で条件付けられた $\tildeΩ(1/\varepsilon^{d/2})$ の下位境界に一致する。 第1のバウンダリは、計算モデルが、多くの現代のアルゴリズムや計算パラダイムで実装され最適化された広範囲なスプレッド設定に対応するサイドドネスクエリに制限されている場合にも、無条件で保持する。

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