論文の概要: Riemannian ascent--descent for nonconvex nonconcave minimax landscapes: convergence to basin saddle points and applications to distributionally robust optimization

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.14141v1
• Date: Sat, 12 Sep 2026 20:42:11 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-09-16 07:15:05.711064
• Title: Riemannian ascent--descent for nonconvex nonconcave minimax landscapes: convergence to basin saddle points and applications to distributionally robust optimization
• Title（参考訳）: 非凸非凸ミニマックスランドスケープに対するリーマン的昇華--サドル点の収束と分布論的ロバストな最適化への応用
• Abstract要約: 測地線空間とブレージアン多様体の勾配上のミニマックス問題を研究する。 グローバル収束順序ファースト法は利用できないので、代わりにエンフバシンサドル点の概念を導入する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.0195618602298684
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We study a class of distributionally robust optimization (DRO) problems for the statistical risk problem, formulated as minimax problems over the product of a Euclidean space and a Riemannian manifold. Because the resulting minimax landscape is nonconvex nonconcave in general, no globally convergent first order method is known to be available. We instead introduce the notion of a \emph{basin saddle point}, a Nash equilibrium defined locally on the Cartesian product of a $δ$ basin around a connected component of the local minima critical set and a geodesic ball on the measure manifold. We develop an abstract convergence framework for a Riemannian gradient ascent multistep descent iteration to a basin saddle point under a local Łojasiewicz type growth condition, with exponent $β\in (1,2]$, in the $δ$ basin around connected components of the local minima critical sets. Under Lipschitz regularity of critical sets we establish linear convergence for $β= 2$ and polynomial convergence for $β\in (1,2)$ to a basin saddle point, with explicit dependence on the sectional curvature of the manifold. We then instantiate this framework for the statistical risk DRO problem over Gaussian measures, where the ambiguity set is naturally modeled as the product of Euclidean space and the Bures Wasserstein manifold of covariance matrices, which we relax to a penalized DRO formulation. We derive nonasymptotic Hessian estimates for the resulting Lagrangian, establish existence and local uniqueness of its maximizer, and prove that an alternating Riemannian gradient scheme converges to a basin saddle point of the penalized DRO problem, recovering the linear and polynomial rates of the abstract theory with all constants explicit in terms of data dimension, loss moments, and the reference covariance.
• Abstract（参考訳）: ユークリッド空間とリーマン多様体の積上のミニマックス問題として定式化された統計リスク問題に対する分布ロバスト最適化(DRO)のクラスについて検討する。 結果のミニマックスランドスケープは一般に非凸な非凸であるため、大域的に収束した一階法は利用できないことが知られている。 代わりに、局所ミニマ臨界集合の連結成分と測度多様体上の測地線球の周囲の$δ$盆地のカルテシアン積上で局所的に定義されるナッシュ均衡である「emph{basin saddle point」の概念を導入する。 局所ミニマ臨界集合の連結成分の周囲に、指数$β\in (1,2]$、および$δ$$の指数を持つ、リーマン勾配の増進多段降下反復を局所的ジョジャシエヴィチ型成長条件の下で盆地サドル点へ導くための抽象収束フレームワークを開発する。 臨界集合のリプシッツ正則性の下では、$β= 2$の線型収束と$β\in (1,2)$の多項式収束を確立し、多様体の断面曲率に明示的に依存する。 次に、このフレームワークをガウス測度上の統計的リスク DRO 問題に対してインスタンス化し、あいまい性集合をユークリッド空間の積と共分散行列のブレス・ワッサーシュタイン多様体として自然にモデル化し、ペナル化された DRO の定式化に緩和する。 結果のラグランジアンに対する漸近的ヘッセン予想を導出し、その最大値の存在と局所的な一意性を確立し、交代リーマン勾配スキームがペナル化DRO問題の盆地サドル点に収束し、データ次元、損失モーメント、参照共分散という観点で明示された全ての定数で抽象理論の線形および多項式速度を回復することを証明する。

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