論文の概要: Bracketing Uncertainty in Clustering Under the Manifold Hypothesis
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.17892v1
- Date: Tue, 15 Sep 2026 22:34:46 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-09-20 08:55:53.556579
- Title: Bracketing Uncertainty in Clustering Under the Manifold Hypothesis
- Title（参考訳）: マニフォールド仮説下でのクラスタリングにおけるブラッキングの不確かさ
- Abstract要約: クラスタ数のあいまいさはしばしば本質的であり、解決されるよりも定量化されるべきである。
我々は,データの不確実性を定量化するために,明示的なブラケット間隔を返すManifold-Based Clustering (MBC)を提案する。
以上の結果から,クラスタ数のあいまいさはしばしば本質的であり,解決するよりも定量化すべきであることが示唆された。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.8233569758620054
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: The manifold hypothesis suggests a natural criterion for clustering: partition data according to the manifold component from which each point is drawn. Whether two components are separable depends on a geometric tradeoff: the ambient separation between components versus the largest gap in sampling. In practice, this tradeoff is rarely assessed explicitly, leading standard methods to over-commit to a single clustering assignment even when the data do not support a unique answer. We formalize this tradeoff by combining intrinsic manifold geometry (volume growth and reach) with sample-level quantities (fill distance and density), yielding a threshold phenomenon for mutual-$k$-nearest-neighbor graphs: when the offset-to-fill ratio exceeds a conservative upper threshold, component separation is preserved; below a lower threshold, components fuse. The gap between these thresholds defines a geometric uncertainty zone in which the number of clusters is not identifiable from the data. Nevertheless, conventional approaches still seek one: sweeping parameters (an engineering approach) or fitting a generative mixture model (a model-based approach). Rather than forcing a single estimate of the number of clusters, we propose Manifold-Based Clustering (MBC), which returns an explicit bracket interval to quantify the underlying data uncertainty. This bracket acts as an empirically calibrated diagnostic: it narrows when a single resolution is supported, widens when multiple resolutions coexist, and collapses to one when no separated structure is detectable. Empirically, we find that many real datasets lie within the uncertainty zone rather than admitting one clear answer. Our results suggest that ambiguity in cluster number is often intrinsic, and should be quantified rather than resolved.
- Abstract（参考訳）: 多様体仮説はクラスタリングの自然な基準を示唆する:各点が描画される多様体成分に従って分割する。
2つのコンポーネントが分離可能であるかどうかは、幾何学的なトレードオフ(コンポーネント間の環境分離とサンプリングにおける最大のギャップ)に依存する。
実際には、このトレードオフを明示的に評価することはめったになく、標準メソッドは、データがユニークな答えをサポートしていない場合でも、単一のクラスタリング代入に過度にコミットする。
このトレードオフは、固有多様体幾何(体積成長とリーチ)とサンプルレベルの量(充填距離と密度)を組み合わせて定式化し、互いに$k$-nearest-neighborグラフのしきい値現象を生じさせる:オフセット対充填比が保守的な上しきい値を超えた場合、成分分離が保存され、下しきい値以下で成分が融合する。
これらの閾値の間のギャップは、データからクラスターの数が特定できないような幾何学的不確実性ゾーンを定義する。
それでも、従来のアプローチは、パラメータ(エンジニアリングアプローチ)を網羅するか、生成的混合モデル(モデルベースのアプローチ)を適合させる、という方法を模索している。
クラスタ数の単一推定を強制するのではなく,データの不確実性を定量化するために,明示的なブラケット間隔を返すManifold-Based Clustering (MBC)を提案する。
このブラケットは経験的に校正された診断として機能し、単一の解像度がサポートされた時に狭くなり、複数の解像度が共存していれば広くなり、分離された構造が検出できない場合には1つに崩壊する。
経験的に、多くの実際のデータセットが、明確な答えを認めるのではなく、不確実性ゾーン内にあることが分かりました。
以上の結果から,クラスタ数のあいまいさはしばしば本質的であり,解決するよりも定量化すべきであることが示唆された。
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