論文の概要: A Geometric Theory of Decision Boundaries in Structured Markov Decision Processes

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.18610v1
• Date: Wed, 16 Sep 2026 13:01:13 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-09-20 08:55:53.812261
• Title: A Geometric Theory of Decision Boundaries in Structured Markov Decision Processes
• Title（参考訳）: 構造マルコフ決定過程における決定境界の幾何学的理論
• Abstract要約: 本稿では,政策によって誘導される決定境界幾何学が分析の主対象となる構造的最適政策の理論を開発する。 適切な構造規則性条件下では、この幾何学はポリシー再構築に必要な最小限の表現を提供する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Classical dynamic programming represents optimal sequential decisions through value functions and policies. While this functional representation is natural for computing optimal decisions, it does not directly identify the mathematical object governing policy reconstruction, representation complexity, or oracle-query complexity once an optimal policy is fixed. This paper addresses this question by developing a geometric theory of structured optimal policies in which the decision-boundary geometry induced by the policy becomes the primary object of analysis. We show that, under suitable structural regularity conditions, this geometry provides the minimal representation required for policy reconstruction and determines the statistical and computational complexity of the reconstruction problem. Building upon this representation, we establish structural properties of policy-induced decision geometry, introduce intrinsic notions of boundary and decision complexity, derive information-theoretic measures of decision compression, and obtain statistical guarantees for boundary estimation and policy reconstruction from black-box policy queries. Collectively, these results demonstrate that, for the structured decision problems considered here, the complexity of policy reconstruction is governed by the geometry of the decision boundary rather than by the cardinality of the ambient state space. Controlled numerical experiments examine the principal theoretical predictions and provide empirical evidence consistent with the proposed framework.
• Abstract（参考訳）: 古典的動的プログラミングは、値関数とポリシーを通じて最適なシーケンシャルな決定を表現している。 この関数表現は最適決定の計算には自然であるが、最適ポリシーが固定されると、数学的対象のポリシー再構成、表現の複雑さ、およびオラクル・クエリの複雑さを直接識別するものではない。 本稿は, 政策によって誘導される決定境界幾何学が分析の主対象となる構造的最適政策の幾何学理論を開発することにより, この問題に対処する。 本研究では, 適切な構造規則性条件下では, この幾何は, 政策再構築に必要な最小限の表現を提供し, 再構成問題の統計的・計算的複雑さを決定できることを示す。 この表現に基づいて,政策によって引き起こされる決定幾何学の構造的特性を確立し,境界と決定の複雑さという本質的な概念を導入し,意思決定圧縮の情報理論的尺度を導出し,ブラックボックスのポリシークエリから境界推定と政策再構築の統計的保証を得る。 これらの結果は、ここで考慮された構造的決定問題に対して、政策再構築の複雑さは、周辺状態空間の濃度ではなく、決定境界の幾何学によって支配されることを示した。 制御された数値実験は、主理論的予測を検証し、提案された枠組みと整合した実証的な証拠を提供する。

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