論文の概要: Toscani-Fourier Distance on Probability Measures: Wasserstein Control, Topological Equivalence on Model Classes, and Duality

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.23163v1
• Date: Sat, 19 Sep 2026 18:21:41 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-09-22 20:29:00.69142
• Title: Toscani-Fourier Distance on Probability Measures: Wasserstein Control, Topological Equivalence on Model Classes, and Duality
• Title（参考訳）: Toscani-Fourier Distance on Probability measures: Wasserstein Control, Topological Equivalence on Model Classs, Duality
• Abstract要約: Wasserstein は $mathbb Rd$ の幾何学をエンコードするが、カーネルの相違は評価しにくいが、輸送問題を解く必要がある。 Toscani-Fourier family $mathrm T_s,p$, the weighted $Lp$ norm of the difference of two characteristic function。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.40611352512781873
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Comparing probability measures in machine learning trades transport geometry against computational cost: Wasserstein distances encode the geometry of $\mathbb R^d$ but require solving a transport problem, while kernel discrepancies are cheap to evaluate yet depend delicately on their test class. We study the Toscani--Fourier family $\mathrm T_{s,p}$, the weighted $L^p$ norm of the difference of two characteristic functions, as a continuous Fourier-side discrepancy on $\mathbb R^d$. For $1\le p<\infty$ we show that $d/p<s<1+d/p$ is exactly the window in which $\mathrm T_{s,p}$ is finite on $\mathcal P_p(\mathbb R^d)$, both endpoints already failing for a pair of Dirac measures, and we establish the metric, embedding, and compactness structure of the resulting space, which we prove to be complete. Duality identifies $\mathrm T_{s,p}$ as an integral probability metric over a homogeneous Fourier--Lebesgue ball, with an explicit extremizer when $1<p<\infty$. We prove the global bound $\mathrm T_{s,p}\lesssim W_p^{\,s-d/p}$, whose exponent is sharp, show that no global converse of any form can hold, and recover topological equivalence with $W_p$ on bounded-support and uniform-tail classes, together with explicit reverse moduli on bounded-support classes that improve the imported energy-kernel exponent at $p=2$. There, $\mathrm T_{s,2}$ is a constant multiple of the classical energy distance, which yields an exact finite-sample identity for the mean of the empirical discrepancy; the numerical experiments are otherwise diagnostic.
• Abstract（参考訳）: ワッサーシュタイン距離は$\mathbb R^d$の幾何学を符号化するが、輸送問題の解決を必要とする。 Toscani-Fourier family $\mathrm T_{s,p}$, the weighted $L^p$ norm of the difference of two characteristic function, as a continuous Fourier-side discrepancy on $\mathbb R^d$。 $1\le p<\infty$ に対して、$d/p<s<1+d/p$ はちょうど$\mathrm T_{s,p}$ が $\mathcal P_p(\mathbb R^d)$ 上の有限である窓であることを示す。 Duality は$\mathrm T_{s,p}$ を同質なフーリエ-ルベーグ球上の積分確率計量とみなし、1<p<\infty$ のとき明示的な超越化器を持つ。 我々は、その指数が鋭い大域有界な$\mathrm T_{s,p}\lesssim W_p^{\,s-d/p}$を証明し、任意の形式の大域的逆転が保持できないことを示し、また、有界サポートクラスと一様テールクラスに対する$W_p$による位相的同値を、輸入エネルギーカーネル指数を$p=2$で改善する有界サポートクラスに対する明示的な逆変調とともに回復する。 ここでは、$\mathrm T_{s,2}$ は古典的なエネルギー距離の定数倍であり、経験的誤差の平均に対して正確な有限サンプル単位を与える。

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