論文の概要: Intrinsic Associative Memory on Riemannian Manifolds: Curvature, Capacity, and Emergent Modes

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.35948v1
• Date: Mon, 28 Sep 2026 17:03:18 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-09-30 21:28:46.906646
• Title: Intrinsic Associative Memory on Riemannian Manifolds: Curvature, Capacity, and Emergent Modes
• Title（参考訳）: リーマン多様体の内在的連想記憶:曲率、容量、創発的モード
• Abstract要約: 本稿では,曲率をデータの性質ではなく,連想メモリの設計変数であることを示す。 我々の研究は、曲率が単なるデータの性質ではなく、連想メモリの設計変数であることを示している。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 4.879561806094711
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Geometry does more than constrain an associative memory: curvature determines what it remembers and which states it creates. We develop intrinsic dense associative memories on Riemannian manifolds by casting memory as Epanechnikov kernel-density mode seeking. We compare geodesic and volume-corrected energies and show that curvature separates their behavior. We prove that geodesic memory always retains an isolated pattern, while corrected memory obeys a sharp Ricci-curvature threshold: positive curvature can erase memories in high dimensions, while negative curvature reinforces them. We derive geodesic capacity scalings of $q_β^{-1/2}$ for retaining every pattern and $q_β^{-1}$ for a typical one, where $q_β$ is the pairwise kernel-overlap probability. We show how overlap \emph{creates} novel memories: designed $N$-pattern configurations realize all $2^N-1$ subset modes, but random data at the storage threshold yield only a Poisson number. We establish exact one-step recall using Riemannian mean shift. In simulations, we recover the predicted curvature transition and every designed mode. On WordNet's full noun hierarchy, we demonstrate that volume correction improves low-capacity retrieval. Together, our work shows that curvature is a design variable for associative memory, not merely a property of the data.
• Abstract（参考訳）: 幾何は連想記憶を制約する以上のことをする:曲率はその記憶とそれが生成する状態を決定する。 Epanechnikov kernel-density mode seeking としてメモリをキャストすることで、リーマン多様体上の固有の高密度連想メモリを開発する。 測地線と体積補正エネルギーを比較し、曲率がそれらの挙動を区別することを示す。 我々はジオデシックメモリが常に孤立したパターンを保っていることを証明し、正の曲率では高次元の記憶を消し、負の曲率ではそれらを補強する。 我々は、すべてのパターンを保持するために$q_β^{-1/2}$と、典型的なパターンに対して$q_β^{-1}$の測地的キャパシティスケーリングを導出する。 設計した$N$-パターン構成は,すべての2^N-1$サブセットモードを実現するが,記憶しきい値のランダムデータはポアソン数のみを生成する。 我々はリーマン平均シフトを用いた正確な一段階のリコールを確立する。 シミュレーションでは、予測曲率遷移と全ての設計モードを復元する。 WordNetのフル名詞階層では、ボリューム補正が低容量検索を改善することを示す。 共同研究は、曲率を単にデータの性質ではなく、連想メモリの設計変数であることを示す。

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