論文の概要: Rapid Mixing of Parallel Kac's Walk: From Spheres to Stiefel Manifolds

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.37999v1
• Date: Tue, 29 Sep 2026 16:54:13 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-09-30 21:28:47.760086
• Title: Rapid Mixing of Parallel Kac's Walk: From Spheres to Stiefel Manifolds
• Title（参考訳）: パラレル・カックの歩行の急速混合:球からスティフェルマンニフォールドへ
• Abstract要約: Lu、Qin、Song、Yao、Zhaoは、Kacのウォークの並列バージョンを導入し、1つの量子状態を$O(log d)$ roundsciteLQSY+26で混合した。 我々は、並列Kacのウォークが$k$正則量子状態上で同時に作用した場合に何が起こるかを研究する。 これは、1つの量子状態から複数の正則量子状態への平行Kacのウォークの分散特性を一般化する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 11.524557552486462
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Kac's walk is a classical local random walk whose action on a single real unit vector in dimension $d$ mixes in total variation in $Θ(d\log d)$ sequential steps~\cite{PS17}. Lu, Qin, Song, Yao, and Zhao introduced a parallel version of Kac's walk that mixes a single quantum state in $O(\log d)$ rounds~\cite{LQSY+26}. After discretizing the randomness and replacing it by suitable pseudorandom primitives, this parallel walk gives rise to pseudorandom state scramblers, and was subsequently shown to yield pseudorandom unitaries~\cite{LQSY+25}. We study what happens when the parallel Kac's walk acts simultaneously on $k$ orthonormal quantum states. We prove that, for any $1\leq k < d$, after $O\!\left((k+\log d)\log(d/\varepsilon)\right)$ steps, the joint distribution of the $k$ output states is $\varepsilon$-close, in both Wasserstein and total variation distance, to that obtained by applying a common Haar-random unitary to the same inputs. This generalizes the dispersing property of the parallel Kac's walk from a single quantum state to multiple orthonormal quantum states. Equivalently, viewing an ordered collection of $k$ orthonormal states as a point on the complex Stiefel manifold $V_{d,k}=\{X\in\mathbb C^{d\times k}:X^\dagger X=I_k\}$, we show that the parallel Kac's walk mixes rapidly on $V_{d,k}$, with both Wasserstein and total variation mixing times bounded by $O\!\left((k+\log d)\log(d/\varepsilon)\right)$. This extends the Wasserstein mixing result of Pillai, Smith, and Vaikuntanathan for the standard Kac's walk on real Stiefel manifolds~\cite{PSV26}.
• Abstract（参考訳）: カッツ・ウォーク (Kac's walk) は古典的な局所ランダム・ウォーク(英語版)であり、次元$d$の1つの実単位ベクトルに対する作用は、合計の変動を$(d\log d)$ Sequence steps~\cite{PS17} で混合する。 Lu, Qin, Song, Yao, Zhao は Kac's walk の並列バージョンを導入し、1つの量子状態を$O(\log d)$ rounds~\cite{LQSY+26} で混合した。 ランダム性を識別し、適切な擬似ランダムプリミティブに置き換えた後に、この並列ウォークは擬似ランダム状態スクランブラーを生じさせ、その後、擬似ランダムユニタリ~\cite{LQSY+25} を得ることを示した。 我々は、並列Kacのウォークが$k$正則量子状態上で同時に作用した場合に何が起こるかを研究する。 1\leq k < d$, after $O\! \left((k+\log d)\log(d/\varepsilon)\right)$ step, the joint distribution of the $k$ output state is $\varepsilon$-close, in both Wasserstein and total variation distance, which obtained by applied a common Haar-random unitary to the same inputs。 これは、1つの量子状態から複数の正則量子状態への平行Kacのウォークの分散特性を一般化する。 同様に、$k$正則状態の順序集合を複素スティーフェル多様体 $V_{d,k}=\{X\in\mathbb C^{d\times k}:X^\dagger X=I_k\}$ 上の点として見ると、平行なKacのウォークが$V_{d,k}$ 上で急速に混合され、ワッサーシュタインと総変分混合時間が$O\! \left((k+\log d)\log(d/\varepsilon)\right)$ これにより、ピレイ、スミス、ヴァイクンタナサンのワッサーシュタイン混合結果を拡張して、実スティーフェル多様体上での標準カッツウォーク(Kac's walk) を ~\cite{PSV26} とする。

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