論文の概要: On quantum algorithms for the Schr\"odinger equation in the
semi-classical regime
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2112.13279v3
- Date: Sat, 4 Jun 2022 03:12:09 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-03-03 07:31:58.303623
- Title: On quantum algorithms for the Schr\"odinger equation in the
semi-classical regime
- Title（参考訳）: 半古典的状態におけるシュリンガー方程式の量子アルゴリズムについて
- Authors: Shi Jin, Xiantao Li, Nana Liu
- Abstract要約: 半古典的状態におけるシュル・オーディンガーの方程式を考える。
このようなシュル・オーディンガー方程式はボルン=オッペンハイマーの分子動力学やエレンフェストの動力学など多くの応用を見出す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 27.175719898694073
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Solving the time-dependent Schr\"odinger equation is an important application
area for quantum algorithms. We consider Schr\"odinger's equation in the
semi-classical regime. Here the solutions exhibit strong multiple-scale
behavior due to a small parameter $\hbar$, in the sense that the dynamics of
the quantum states and the induced observables can occur on different spatial
and temporal scales. Such a Schr\"odinger equation finds many applications,
including in Born-Oppenheimer molecular dynamics and Ehrenfest dynamics. This
paper considers quantum analogues of pseudo-spectral (PS) methods on classical
computers. Estimates on the gate counts in terms of $\hbar$ and the precision
$\varepsilon$ are obtained. It is found that the number of required qubits,
$m$, scales only logarithmically with respect to $\hbar$. When the solution has
bounded derivatives up to order $\ell$, the symmetric Trotting method has gate
complexity $\mathcal{O}\Big({ (\varepsilon \hbar)^{-\frac12}
\mathrm{polylog}(\varepsilon^{-\frac{3}{2\ell}}
\hbar^{-1-\frac{1}{2\ell}})}\Big),$ provided that the diagonal unitary
operators in the pseudo-spectral methods can be implemented with
$\mathrm{poly}(m)$ operations. When physical observables are the desired
outcomes, however, the step size in the time integration can be chosen
independently of $\hbar$. The gate complexity in this case is reduced to
$\mathcal{O}\Big({\varepsilon^{-\frac12} \mathrm{polylog}(
\varepsilon^{-\frac3{2\ell}} \hbar^{-1} )}\Big),$ with $\ell$ again indicating
the smoothness of the solution.
- Abstract（参考訳）: 時間依存シュリンガー方程式を解くことは、量子アルゴリズムにとって重要な応用分野である。
半古典的レジームではシュル=オディンガーの方程式を考える。
ここで、この解は、量子状態と誘導可観測性のダイナミクスが異なる空間的および時間的スケールで起こり得るという意味で、小さなパラメータ $\hbar$ による強い多重スケールの振る舞いを示す。
このようなシュリンガー方程式はボルン=オッペンハイマー分子動力学やエレンフェスト力学など多くの応用を見出す。
本稿では,古典コンピュータにおける擬似スペクトル法(PS)の量子アナログについて考察する。
ゲート数の推定値は$\hbar$で、精度は$\varepsilon$である。
必要な qubits の数 $m$ は、$\hbar$ に対して対数的にしかスケールしない。
解が$\ell$に有界な微分を持つとき、対称トロッティング法はゲート複雑性$\mathcal{O}\Big({ (\varepsilon \hbar)^{-\frac12} \mathrm{polylog}(\varepsilon^{-\frac{3}{2\ell}} \hbar^{-1-\frac{1}{2\ell}})}\Big)を持つ。
しかし、物理的な可観測性が望ましい結果である場合、時間積分のステップサイズは$\hbar$から独立して選択できる。
この場合のゲートの複雑さは$\mathcal{O}\Big({\varepsilon^{-\frac12} \mathrm{polylog}( \varepsilon^{-\frac3{2\ell}} \hbar^{-1} )}\Big)に還元される。
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