論文の概要: Optimal random quantisers for spherically symmetric distributions

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.11772v1
• Date: Thu, 08 Oct 2026 11:53:59 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-10 02:36:53.995552
• Title: Optimal random quantisers for spherically symmetric distributions
• Title（参考訳）: 球対称分布に対する最適ランダム量子化器
• Abstract要約: ザドールの有名な定理は最適な量子化の基礎である。 適度に選択された半径$R$の球面上に均一に分布するランダム量子化器は、中程度の$n$に対して、例外的に良い性能を示すことを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.2031796234206138
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Zador's celebrated theorem is a cornerstone of optimal quantisation: it establishes both the weak limit of the empirical distribution of an optimal $n$-point quantiser in $R^d$ and the decay rate of the associated $L_s$-mean quantisation error. In large dimension, however, observing this asymptotic behaviour requires an astronomically large sample size. We prove that, for spherically symmetric target distributions, optimisation over all spherically symmetric distributions is a convex problem and derive an equivalence theorem that both characterises global optimality and yields a constructive algorithm. We show that, for moderate $n$, random quantisers uniformly distributed on a sphere of suitably chosen radius $R$ perform exceptionally well and, over a broad range of values of $n$, are numerically certified to be optimal among all random quantisers. Their expected distortion has an explicit integral representation that can be evaluated to arbitrary precision, and we prove concentration across random quantisers: the distortion variance tends to zero as $n\to\infty$ for fixed $d$. For $s=2$, both the optimal radius and the associated minimum expected distortion admit exact expressions. For general $s$, the optimal radius can be determined efficiently, and extreme-value theory provides useful approximations when $n$ grows with $d$. Depending on this growth rate, $R$ either converges to zero or approaches a positive limit that is independent of $s$.
• Abstract（参考訳）: ザドールの有名な定理は最適な量子化の基礎であり、$R^d$における最適な$n$ポイント量子化器の経験的分布の弱い極限と、それに付随する$L_s$-mean量子化誤差の崩壊率の両方を確立する。 しかし、大きな次元では、この漸近的な振る舞いを観察するには、天文学的に大きなサンプルサイズが必要である。 球対称対象分布に対して、すべての球対称分布に対する最適化は凸問題であり、どちらも大域的最適性を特徴づけ、構成的アルゴリズムをもたらす同値定理を導出することを証明する。 適度に選択された半径$R$の球面上に一様に分布するランダム量子化器は、中等度$n$の場合、例外的に良い性能を示し、より広い範囲の値に対して、すべてのランダム量子化器の中で最適な値であることが数値的に証明されている。 予想される歪みは任意の精度で評価できる明示的な積分表現を持ち、ランダムな量子化器にまたがる濃度を証明している: 歪み分散は固定された$d$に対して$n\to\infty$としてゼロになる傾向がある。 $s=2$ の場合、最適半径と関連する最小歪みの両方は正確な式を許容する。 一般の$s$の場合、最適半径は効率的に決定でき、極値理論は$n$が$d$で成長するときに有用な近似を与える。 この成長速度に依存すると、$R$は0に収束するか、または$s$とは独立な正の極限に近づく。

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