Fugu-MT 論文翻訳(概要): Fractional is Better: Learnable Derivative Orders in Neural Operator Learning

論文の概要: Fractional is Better: Learnable Derivative Orders in Neural Operator Learning

arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.20363v1
Date: Wed, 14 Oct 2026 15:37:48 GMT
ステータス: 翻訳完了
システム内更新日: 2026-10-15 21:06:16.224275
Title: Fractional is Better: Learnable Derivative Orders in Neural Operator Learning
Title（参考訳）: フラクショナルはより良い:ニューラル演算子学習における学習可能な導出順序
Abstract要約: 入力の導関数が解演算子に明示的に現れることを示し、導関数を提供することでネットワークの暗黙的な微分負担を軽減できることを示唆する。我々は,任意の神経オペレータのバックボーンに学習可能な分数微分機能を提供するアーキテクチャに依存しない拡張であるデリバティブ強化ニューラル演算子に対して$partial$-NO(del-NO)を導入する。
参考スコア（独自算出の注目度）: 2.899294572150795
License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
Abstract: Neural operators learn mappings between function spaces, enabling fast surrogate solutions to partial differential equations. Despite remarkable architectural diversity, these methods often share a common input representation: raw coordinate-value pairs $(x, u(x))$. We ask whether inputs aligned with PDE differential structure can improve learning. Through Picard iteration on mild solutions, we show that derivatives of the input appear explicitly in the solution operator, suggesting that providing derivative features should reduce the network's implicit differentiation burden. We prove this intuition: providing derivative features improves approximation bounds from $O(W^{-(s-m)/d})$ to $O(W^{-s/d})$, where $W$ is parameter count, $s$ is input regularity, $m$ is the PDE order, and $d$ is spatial dimension. Our central finding, however, is a surprise: the optimal derivative order $β^*$ is strictly less than the PDE order $m$. This gap arises from a bias-variance tradeoff in spectral space that we characterize in closed form. Learning $β$ from data achieves automatic spectral regularization. We introduce $\partial$-NO (del-NO), for derivative-augmented neural operators, an architecture-agnostic augmentation that provides learnable fractional derivative features to any neural operator backbone. Across benchmark problems and architectures, $\partial$-NO consistently improves prediction accuracy, with learned orders that reflect a representation of known physics modulated by noise and finite-sample constraints.
Abstract（参考訳）: ニューラル作用素は函数空間間の写像を学習し、偏微分方程式に対する高速な代理解を可能にする。顕著なアーキテクチャ上の多様性にもかかわらず、これらの手法はしばしば共通の入力表現を共有する: 生座標値対 $(x, u(x))$。 PDE差分構造に整合した入力が学習を改善するかどうかを問う。軽度解上でのPicard反復を通して、入力の導関数が解演算子に明示的に現れることを示し、導関数を提供することで、ネットワークの暗黙的な微分負担を軽減できることを示唆する。微分関数を提供することで、近似境界が$O(W^{-(s-m)/d})$から$O(W^{-s/d})$に改善され、$W$はパラメータカウント、$s$は入力正規性、$m$はPDE順序、$d$は空間次元となる。しかし、我々の中心的な発見は驚きである: 最適微分位数$β^*$は、PDE位数$m$より厳密には小さい。このギャップは、我々が閉じた形で特徴づけるスペクトル空間におけるバイアス分散トレードオフから生じる。データから$β$を学習すると、自動スペクトル正則化が達成される。我々は、任意の神経オペレータのバックボーンに学習可能な分数微分機能を提供するアーキテクチャに依存しない拡張であるデリバティブ強化ニューラル演算子に対して、$\partial$-NO (del-NO)を導入する。ベンチマーク問題とアーキテクチャ全体で、$\partial$-NOは、ノイズと有限サンプル制約によって変調された既知の物理学の表現を反映した学習順序によって、予測精度を一貫して改善する。

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