論文の概要: On the gradient conjecture at infinity: Finite spherical length for gradient trajectories of definable potentials

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.29211v1
• Date: Wed, 21 Oct 2026 05:06:29 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-23 00:40:06.211145
• Title: On the gradient conjecture at infinity: Finite spherical length for gradient trajectories of definable potentials
• Title（参考訳）: 無限大における勾配予想について:定義可能なポテンシャルの勾配軌跡に対する有限球長について
• Abstract要約: すべての開 $ U の部分集合 mathbb Rn $ に対して、すべての勾配 trajectory $(t)$, $t geq 0$, of a definable $C1$-potential $F colon U to mathbb R$ は有限長で、特に収束する(方向収束)。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.077357290218356
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We prove that for every open $ U \subseteq \mathbb R^n $ the spherical projection of every gradient trajectory $θ(t)$, $t \geq 0$, of a definable $C^1$-potential $F \colon U \to \mathbb R$ has finite length and, in particular, converges (directional convergence). In other words, every gradient trajectory of a definable $C^1$-potential has finite total angular motion. Here, definable means definable in an arbitrary o-minimal structure expanding the real field. Notably, the gradient trajectory in this result is an arbitrary solution of the gradient flow differential equation (whose solutions may not be unique) with no further assumptions: The gradient trajectory may be unbounded and diverge to infinity or it may be convergent. The established theorem therefore provides affirmative answers to both the gradient conjecture at infinity for definable potentials and the definable Thom gradient conjecture. We apply our theorem to the training of deep neural networks (DNNs) to conclude that, in the case of definable and continuously differentiable activation and loss functions, the spherical projection of the DNN training flow must always converge (directional convergence).
• Abstract（参考訳）: すべての開 $ U \subseteq \mathbb R^n $ に対して、すべての勾配 trajectory $θ(t)$, $t \geq 0$, of a definable $C^1$-potential $F \colon U \to \mathbb R$ は有限長で、特に収束する(方向収束)。 言い換えれば、定義可能な$C^1$-ポテンシャルのすべての勾配軌道は有限全角運動を持つ。 ここで、定義可能な手段は、実場を拡大する任意の O-極小構造で定義できる。 特に、この結果の勾配軌跡は(解が一意ではないかもしれない)勾配流微分方程式の任意の解であり、さらなる仮定は存在しない: 勾配軌跡は非有界で無限大に発散するかもしれないし、収束するかもしれない。 したがって、確立された定理は、定義可能なポテンシャルに対する無限遠の勾配予想と定義可能なトム勾配予想の両方に対して肯定的な答えを与える。 この定理をディープニューラルネットワーク(DNN)のトレーニングに適用し、定義可能で連続的に微分可能なアクティベーションと損失関数の場合、DNNトレーニングフローの球面投影は常に収束(方向収束)しなければならないと結論付ける。

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