論文の概要: Learning Kolmogorov Backward Operators for Spectral Analysis and Forecasting: A Data-Driven Variational Galerkin Framework
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.39580v1
- Date: Thu, 29 Oct 2026 08:22:18 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-10-31 05:25:12.480074
- Title: Learning Kolmogorov Backward Operators for Spectral Analysis and Forecasting: A Data-Driven Variational Galerkin Framework
- Title（参考訳）: スペクトル分析と予測のためのKolmogorov後方演算子を学習する:データ駆動変分ガレルキンフレームワーク
- Abstract要約: 2段階法を用いて時間均質マルコフ過程を近似する。
誤差解析は、ガレルキン内部積のサンプリング誤差である推定器の学習誤差をトレースする。
決定論的力学では、フーリエニューラル演算子の学習速度は学習誤差に対して1つの明示的な境界を与える。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 4.567325813125437
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: For a time-homogeneous Markov process, the fixed-lag solution operator \( (T_τf)(x)=\mathbb E[f(X_{t+τ})\mid X_t=x] \) of the Kolmogorov backward equation evolves observables linearly and deterministically, even when the dynamics are stochastic. We approximate this operator using a two-stage method where we first approximate this operator directly from data, without knowledge of the governing equation (e.g., Fourier Neural Operator), and then compress the Galerkin projection onto a finite-dimensional observable space that is fixed in advance or selected variationally. The error analysis traces the learning error of the estimator, the sampling error of the Galerkin inner products, and the invariance and reconstruction properties of the observable space to the computed spectra and forecasts. The sampling error enters only through a multiplicative factor. Near an isolated spectral cluster, the invariance defect of a subspace controls its distance from the target invariant subspace. The forecast error is controlled by the one-step error of the reduced model and the projection error of the observable; when the measure is invariant and the reduced model preserves constants and is stable on mean-zero observables, the bound is uniform in the horizon. For deterministic dynamics, a learning rate for Fourier neural operators (FNOs) gives one explicit bound for the learning error. Numerical experiments illustrate spectral approximation and forecasting, including long-rollout stability and a comparison with extended dynamic mode decomposition (EDMD) when fewer transition pairs than basis functions are observed.
- Abstract（参考訳）: 時間同次マルコフ過程では、コルモゴロフ後方方程式の固定ラグ解作用素 \((T_τf)(x)=\mathbb E[f(X_{t+τ})\mid X_t=x] \) は、力学が確率的であっても、線形かつ決定論的に可観測物を進化させる。
我々はこの演算子を2段階的に近似し、この演算子を直接データから近似し、支配方程式(例えばフーリエニューラル演算子)の知識を使わずに、ガレルキン射影を前もって固定あるいは変分的に選択された有限次元可観測空間に圧縮する。
誤差解析は、推定器の学習誤差、ガレルキン内部積のサンプリング誤差、および計算されたスペクトルと予測に対する観測可能空間の不変性と再構成特性をトレースする。
サンプリングエラーは乗算係数によってのみ入力される。
孤立スペクトルクラスターの近傍では、部分空間の不変性はターゲット不変部分空間からの距離を制御する。
予測誤差は、縮小モデルの一段階誤差と可観測物の投射誤差によって制御され、測定値が不変であり、縮小モデルが定数を保ち、平均ゼロ可観測値上で安定である場合、境界は地平線上で一様である。
決定論的力学では、フーリエニューラル演算子(FNO)の学習速度は学習誤差に対して1つの明示的な境界を与える。
数値実験では、スペクトル近似と予測を例示し、長いロールアウト安定性と、基底関数よりも遷移ペアが少ない場合に拡張動的モード分解(EDMD)との比較を行った。
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