論文の概要: Data-driven Efficient Solvers for Langevin Dynamics on Manifold in High
Dimensions
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2005.12787v3
- Date: Tue, 27 Sep 2022 06:52:48 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2022-11-30 09:53:17.537812
- Title: Data-driven Efficient Solvers for Langevin Dynamics on Manifold in High
Dimensions
- Title（参考訳）: 高次元多様体上のランゲヴィンダイナミクスのためのデータ駆動効率的な解法
- Authors: Yuan Gao, Jian-Guo Liu, Nan Wu
- Abstract要約: 多様体構造を持つ物理系のランゲヴィン力学を$mathcalMsubsetmathbbRp$で研究する。
我々は、多様体 $mathcalN$ 上の対応するフォッカー・プランク方程式を、反応座標 $mathsfy$ の観点から活用する。
このFokker-Planck方程式に対して、実装可能で、無条件で安定な、データ駆動有限体積スキームを提案する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 12.005576001523515
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We study the Langevin dynamics of a physical system with manifold structure
$\mathcal{M}\subset\mathbb{R}^p$ based on collected sample points
$\{\mathsf{x}_i\}_{i=1}^n \subset \mathcal{M}$ that probe the unknown manifold
$\mathcal{M}$. Through the diffusion map, we first learn the reaction
coordinates $\{\mathsf{y}_i\}_{i=1}^n\subset \mathcal{N}$ corresponding to
$\{\mathsf{x}_i\}_{i=1}^n$, where $\mathcal{N}$ is a manifold diffeomorphic to
$\mathcal{M}$ and isometrically embedded in $\mathbb{R}^\ell$ with $\ell \ll
p$. The induced Langevin dynamics on $\mathcal{N}$ in terms of the reaction
coordinates captures the slow time scale dynamics such as conformational
changes in biochemical reactions. To construct an efficient and stable
approximation for the Langevin dynamics on $\mathcal{N}$, we leverage the
corresponding Fokker-Planck equation on the manifold $\mathcal{N}$ in terms of
the reaction coordinates $\mathsf{y}$. We propose an implementable,
unconditionally stable, data-driven finite volume scheme for this Fokker-Planck
equation, which automatically incorporates the manifold structure of
$\mathcal{N}$. Furthermore, we provide a weighted $L^2$ convergence analysis of
the finite volume scheme to the Fokker-Planck equation on $\mathcal{N}$. The
proposed finite volume scheme leads to a Markov chain on
$\{\mathsf{y}_i\}_{i=1}^n$ with an approximated transition probability and jump
rate between the nearest neighbor points. After an unconditionally stable
explicit time discretization, the data-driven finite volume scheme gives an
approximated Markov process for the Langevin dynamics on $\mathcal{N}$ and the
approximated Markov process enjoys detailed balance, ergodicity, and other good
properties.
- Abstract（参考訳）: 未知多様体 $\mathcal{m}$ をプローブする実測点 $\{\mathsf{x}_i\}_{i=1}^n \subset \mathcal{m}$ に基づいて、多様体構造 $\mathcal{m}\subset\mathbb{r}^p$ を持つ物理系のランゲバン力学を研究する。
拡散写像を通して、まず、$\{\mathsf{y}_i\}_{i=1}^n\subset \mathcal{n}$ と$\{\mathsf{x}_i\}_{i=1}^n$ に対応する反応座標を学習する。
反応座標における$\mathcal{N}$上のランゲヴィンの誘導力学は、生化学反応のコンフォメーション変化のような遅い時間スケールのダイナミクスを捉える。
$\mathcal{N}$ 上のランゲヴィン力学の効率的かつ安定した近似を構築するために、反応座標 $\mathsf{y}$ の観点から、多様体 $\mathcal{N}$ 上の対応するフォッカー・プランク方程式を利用する。
このFokker-Planck方程式に対して実装可能で非条件で安定なデータ駆動有限体積スキームを提案し、$\mathcal{N}$の多様体構造を自動的に組み込む。
さらに、$\mathcal{N}$上のFokker-Planck方程式に対する有限体積スキームの重み付き$L^2$収束解析を提供する。
提案する有限体積スキームは、近似した遷移確率と最近傍点間のジャンプ率を持つ、$\{\mathsf{y}_i\}_{i=1}^n$ 上のマルコフ連鎖をもたらす。
無条件で安定な明示的な時間離散化の後、データ駆動有限体積スキームは$\mathcal{N}$上のランゲヴィン力学の近似マルコフ過程を与え、近似マルコフ過程は詳細なバランス、エルゴディディディティ、その他の良い性質を享受する。
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