Fugu-MT 論文翻訳(概要): Approximating the Riemannian Metric from Point Clouds via Manifold Moving Least Squares

論文の概要: Approximating the Riemannian Metric from Point Clouds via Manifold Moving Least Squares

arxiv url: http://arxiv.org/abs/2007.09885v2
Date: Fri, 20 Nov 2020 06:29:20 GMT
ステータス: 処理完了
システム内更新日: 2022-11-08 14:53:20.970993
Title: Approximating the Riemannian Metric from Point Clouds via Manifold Moving Least Squares
Title（参考訳）: Manifold moving Least Squares による点雲からのリーマン計量の近似
Authors: Barak Sober, Robert Ravier, Ingrid Daubechies
Abstract要約: 近似測地線距離を収束率$ O(h) $ provable approximations で生成するネーブアルゴリズムを提案する。いくつかの数値シミュレーションにおいて,提案手法の雑音に対するポテンシャルとロバスト性を示す。
参考スコア（独自算出の注目度）: 2.2774471443318753
License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
Abstract: The approximation of both geodesic distances and shortest paths on point cloud sampled from an embedded submanifold $\mathcal{M}$ of Euclidean space has been a long-standing challenge in computational geometry. Given a sampling resolution parameter $ h $, state-of-the-art discrete methods yield $ O(h) $ provable approximations. In this paper, we investigate the convergence of such approximations made by Manifold Moving Least-Squares (Manifold-MLS), a method that constructs an approximating manifold $\mathcal{M}^h$ using information from a given point cloud that was developed by Sober \& Levin in 2019. In this paper, we show that provided that $\mathcal{M}\in C^{k}$ and closed (i.e. $\mathcal{M}$ is a compact manifold without boundary) the Riemannian metric of $ \mathcal{M}^h $ approximates the Riemannian metric of $ \mathcal{M}, $. Explicitly, given points $ p_1, p_2 \in \mathcal{M}$ with geodesic distance $ \rho_{\mathcal{M}}(p_1, p_2) $, we show that their corresponding points $ p_1^h, p_2^h \in \mathcal{M}^h$ have a geodesic distance of $ \rho_{\mathcal{M}^h}(p_1^h,p_2^h) = \rho_{\mathcal{M}}(p_1, p_2)(1 + O(h^{k-1})) $ (i.e., the Manifold-MLS is nearly an isometry). We then use this result, as well as the fact that $ \mathcal{M}^h $ can be sampled with any desired resolution, to devise a naive algorithm that yields approximate geodesic distances with a rate of convergence $ O(h^{k-1}) $. We show the potential and the robustness to noise of the proposed method on some numerical simulations.
Abstract（参考訳）: ユークリッド空間の埋め込み部分多様体$\mathcal{M}$からサンプリングされた点雲上の測地線距離と最短経路の近似は、計算幾何学における長年の課題である。サンプリング解像度パラメータが $h $ であれば、最先端の離散メソッドは$ O(h) $ provable approximations をもたらす。本論文では,2019年にSober \& Levin によって開発された所定の点雲からの情報を用いて,多様体 $\mathcal{M}^h$ を近似する手法である Manifold moving Least-Squares (Manifold-MLS) による近似の収束について検討する。この論文では、$\mathcal{M}\in C^{k}$ と閉(つまり、$\mathcal{M}$ は境界のないコンパクト多様体)のリーマン計量 $ \mathcal{M}^h$ がリーマン計量 $ \mathcal{M}, $ を近似することを示した。 p_1, p_2 \in \mathcal{M}$ と測地距離 $ \rho_{\mathcal{M}}(p_1, p_2)$ とすると、対応する点 $ p_1^h, p_2^h \in \mathcal{M}^h$ が測地距離 $ \rho_{\mathcal{M}^h}(p_1^h,p_2^h) = \rho_{\mathcal{M}}(p_1, p_2)(1 + O(h^{k-1}) $ (つまり、Manifold-MLS は概等距離である)。次に、この結果と$ \mathcal{m}^h $ を任意の所望の解像度でサンプリングできるという事実を使い、収束率 $ o(h^{k-1}) $ で測地距離を近似するナイーブアルゴリズムを考案する。いくつかの数値シミュレーションにおいて,提案手法の雑音に対するポテンシャルと頑健性を示す。

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