論文の概要: Probabilistic Iterative Methods for Linear Systems
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2012.12615v2
- Date: Mon, 11 Jan 2021 14:30:53 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2021-04-26 01:36:32.827100
- Title: Probabilistic Iterative Methods for Linear Systems
- Title（参考訳）: 線形システムの確率的反復法
- Authors: Jon Cockayne and Ilse C.F. Ipsen and Chris J. Oates and Tim W. Reid
- Abstract要約: 我々は、 $mathbbRd$ 上の標準反復法が、確率分布の空間に作用するために、$mathcalP(mathbbRd)$ を解除することを示す。
この論文で提案される反復的手法の出力は、数学P(mathbbRd)$における確率分布の列$mu_mである。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.457842083043013
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: This paper presents a probabilistic perspective on iterative methods for
approximating the solution $\mathbf{x}_* \in \mathbb{R}^d$ of a nonsingular
linear system $\mathbf{A} \mathbf{x}_* = \mathbf{b}$. In the approach a
standard iterative method on $\mathbb{R}^d$ is lifted to act on the space of
probability distributions $\mathcal{P}(\mathbb{R}^d)$. Classically, an
iterative method produces a sequence $\mathbf{x}_m$ of approximations that
converge to $\mathbf{x}_*$. The output of the iterative methods proposed in
this paper is, instead, a sequence of probability distributions $\mu_m \in
\mathcal{P}(\mathbb{R}^d)$. The distributional output both provides a "best
guess" for $\mathbf{x}_*$, for example as the mean of $\mu_m$, and also
probabilistic uncertainty quantification for the value of $\mathbf{x}_*$ when
it has not been exactly determined. Theoretical analysis is provided in the
prototypical case of a stationary linear iterative method. In this setting we
characterise both the rate of contraction of $\mu_m$ to an atomic measure on
$\mathbf{x}_*$ and the nature of the uncertainty quantification being provided.
We conclude with an empirical illustration that highlights the insight into
solution uncertainty that can be provided by probabilistic iterative methods.
- Abstract（参考訳）: 本稿では、非特異線型系 $\mathbf{A} \mathbf{x}_* = \mathbf{b}$ の解 $\mathbf{x}_* \in \mathbb{R}^d$ を近似する反復法に関する確率論的視点を示す。
このアプローチでは、$\mathbb{r}^d$ の標準的な反復法が持ち上げられ、確率分布 $\mathcal{p}(\mathbb{r}^d)$ の空間に作用する。
古典的には、反復法は$\mathbf{x}_m$ に収束する近似の列 $\mathbf{x}_m$ を生成する。
この論文で提案された反復的手法の出力は、代わりに確率分布の列 $\mu_m \in \mathcal{p}(\mathbb{r}^d)$ である。
分布出力はともに$\mathbf{x}_*$に対して「最良の推算」を提供し、例えば$\mu_m$の平均と、その値が正確に決定されていないときに$\mathbf{x}_*$の確率的不確実性定量化を提供する。
理論解析は定常線形反復法の原型として提供される。
この設定では、$\mu_m$ の縮小率と$\mathbf{x}_*$ の原子測度と不確かさの定量化の性質の両方を特徴付ける。
最後に,確率的反復的手法によって得られる解の不確実性に対する洞察を強調する経験的例を示す。
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