論文の概要: Algebraic and geometric structures inside the Birkhoff polytope
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2101.11288v1
- Date: Wed, 27 Jan 2021 09:51:24 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-04-13 20:08:05.415624
- Title: Algebraic and geometric structures inside the Birkhoff polytope
- Title（参考訳）: ビルホフ多面体内部の代数的および幾何学的構造
- Authors: Grzegorz Rajchel-Mieldzio\'c, Kamil Korzekwa, Zbigniew Pucha{\l}a and
Karol \.Zyczkowski
- Abstract要約: Birkhoff polytope $mathcalB_d$ は位数 $d$ のすべての双確率行列からなる。
我々は、$mathcalL_d$ と $mathcalF_d$ が平面行列に対して星型であることを証明する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: The Birkhoff polytope $\mathcal{B}_d$ consisting of all bistochastic matrices
of order $d$ assists researchers from many areas, including combinatorics,
statistical physics and quantum information. Its subset $\mathcal{U}_d$ of
unistochastic matrices, determined by squared moduli of unitary matrices, is of
a particular importance for quantum theory as classical dynamical systems
described by unistochastic transition matrices can be quantised. In order to
investigate the problem of unistochasticity we introduce the set
$\mathcal{L}_d$ of bracelet matrices that forms a subset of $\mathcal{B}_d$,
but a superset of $\mathcal{U}_d$. We prove that for every dimension $d$ this
set contains the set of factorisable bistochastic matrices $\mathcal{F}_d$ and
is closed under matrix multiplication by elements of $\mathcal{F}_d$. Moreover,
we prove that both $\mathcal{L}_d$ and $\mathcal{F}_d$ are star-shaped with
respect to the flat matrix. We also analyse the set of $d\times d$
unistochastic matrices arising from circulant unitary matrices, and show that
their spectra lie inside $d$-hypocycloids on the complex plane. Finally,
applying our results to small dimensions, we fully characterise the set of
circulant unistochastic matrices of order $d\leq 4$, and prove that such
matrices form a monoid for $d=3$.
- Abstract（参考訳）: birkhoff polytope $\mathcal{b}_d$ は、組合せ論、統計物理学、量子情報など、多くの分野の研究者を支援している。
ユニタリ行列の平方モジュライによって決定される非定値行列の部分集合 $\mathcal{u}_d$ は、非定値遷移行列によって記述される古典力学系として量子論において特に重要である。
非確率性の問題を調べるために、'\mathcal{b}_d$' の部分集合を形成するが、'\mathcal{u}_d$' の超集合であるブレスレット行列の集合 $\mathcal{l}_d$ を導入する。
任意の次元 $d$ に対して、この集合は分解可能な双確率行列の集合 $\mathcal{F}_d$ を含み、$\mathcal{F}_d$ の元によって行列乗法の下で閉であることを示す。
さらに、$\mathcal{L}_d$ と $\mathcal{F}_d$ の両方が平面行列に関して星型であることが証明される。
また,循環的ユニタリ行列から生じるd\times d$非確率行列の集合を分析し,それらのスペクトルが複素平面上の$d$-hypocycloidsの内部にあることを示す。
最後に、この結果を小さな次元に応用し、位数$d\leq 4$の循環的一様行列の集合を完全に特徴づけ、そのような行列が$d=3$のモノイドとなることを証明する。
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