論文の概要: Learning elliptic partial differential equations with randomized linear algebra

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2102.00491v1
• Date: Sun, 31 Jan 2021 16:57:59 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-02-04 09:57:15.066243
• Title: Learning elliptic partial differential equations with randomized linear algebra
• Title（参考訳）: ランダム化線形代数による楕円偏微分方程式の学習
• Authors: Nicolas Boull\'e, Alex Townsend
• Abstract要約: ほぼ確実に収束する$G$への近似を構築することができることを示す。 0Gamma_epsilonleq 1$はトレーニングデータセットの品質を特徴付ける。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.538209532048867
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Given input-output pairs of an elliptic partial differential equation (PDE) in three dimensions, we derive the first theoretically-rigorous scheme for learning the associated Green's function $G$. By exploiting the hierarchical low-rank structure of $G$, we show that one can construct an approximant to $G$ that converges almost surely and achieves an expected relative error of $\epsilon$ using at most $\mathcal{O}(\epsilon^{-6}\log^4(1/\epsilon)/\Gamma_\epsilon)$ input-output training pairs, for any $0<\epsilon<1$. The quantity $0<\Gamma_\epsilon\leq 1$ characterizes the quality of the training dataset. Along the way, we extend the randomized singular value decomposition algorithm for learning matrices to Hilbert--Schmidt operators and characterize the quality of covariance kernels for PDE learning.
• Abstract（参考訳）: 3次元の楕円偏微分方程式(PDE)の入出力対が与えられたとき、関連するグリーン関数を学習するための理論的に厳密なスキームを導出する。 G$ の階層的低ランク構造を利用することで、$G$ の近似をほぼ確実に収束させ、最大 $\mathcal{O}(\epsilon^{-6}\log^4(1/\epsilon)/\Gamma_\epsilon)$ 入出力トレーニングペアで $0<\epsilon<1$ で $\epsilon$ の相対誤差を達成できることを示す。 0<\gamma_\epsilon\leq 1$ はトレーニングデータセットの品質を特徴付ける。 その過程で、行列を学習するためのランダム化特異値分解アルゴリズムをヒルベルト-シュミット作用素に拡張し、PDE学習のための共分散カーネルの品質を特徴付ける。

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