論文の概要: Operator learning for hyperbolic partial differential equations
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2312.17489v1
- Date: Fri, 29 Dec 2023 06:41:50 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-01-02 12:45:39.886578
- Title: Operator learning for hyperbolic partial differential equations
- Title（参考訳）: 双曲偏微分方程式の作用素学習
- Authors: Christopher Wang and Alex Townsend
- Abstract要約: 我々は、双曲偏微分方程式(PDE)の解演算子を復元するための、初めて厳密に正当化された確率的アルゴリズムを構築した。
双曲型PDEの解作用素を復元する主な課題は特性の存在であり、それに伴うグリーン関数は不連続である。
双曲型PDEの係数の正則性に関する仮定は、双曲型PDEが楕円型および放物型PDEの「即時平滑化効果」を持たないことを考えると、比較的弱い。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 9.434110429069385
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We construct the first rigorously justified probabilistic algorithm for
recovering the solution operator of a hyperbolic partial differential equation
(PDE) in two variables from input-output training pairs. The primary challenge
of recovering the solution operator of hyperbolic PDEs is the presence of
characteristics, along which the associated Green's function is discontinuous.
Therefore, a central component of our algorithm is a rank detection scheme that
identifies the approximate location of the characteristics. By combining the
randomized singular value decomposition with an adaptive hierarchical partition
of the domain, we construct an approximant to the solution operator using
$O(\Psi_\epsilon^{-1}\epsilon^{-7}\log(\Xi_\epsilon^{-1}\epsilon^{-1}))$
input-output pairs with relative error $O(\Xi_\epsilon^{-1}\epsilon)$ in the
operator norm as $\epsilon\to0$, with high probability. Here, $\Psi_\epsilon$
represents the existence of degenerate singular values of the solution
operator, and $\Xi_\epsilon$ measures the quality of the training data. Our
assumptions on the regularity of the coefficients of the hyperbolic PDE are
relatively weak given that hyperbolic PDEs do not have the ``instantaneous
smoothing effect'' of elliptic and parabolic PDEs, and our recovery rate
improves as the regularity of the coefficients increases.
- Abstract（参考訳）: 本研究では,2変数の双曲偏微分方程式(pde)の解演算子を入出力訓練ペアから復元する最初の厳密な確率論的アルゴリズムを構築した。
双曲型PDEの解作用素を復元する主な課題は特性の存在であり、それに伴うグリーン関数は不連続である。
したがって,本アルゴリズムの中心的な構成要素は,特徴の近似位置を特定するランク検出方式である。
ランダム化された特異値分解とドメインの適応的階層分割を組み合わせることで、演算子ノルムにおいて$O(\Psi_\epsilon^{-1}\epsilon^{-7}\log(\Xi_\epsilon^{-1}\epsilon^{-1}))$入力出力ペアに対して相対誤差$O(\Xi_\epsilon^{-1}\epsilon)$を$\epsilon\to0$と高確率で構築する。
ここで、$\Psi_\epsilon$は解演算子の退化特異値の存在を表し、$\Xi_\epsilon$はトレーニングデータの品質を測定する。
双曲 pde の係数の正則性に関する仮定は、双曲 pde が楕円型および放物型 pde の ‘instantaneous smoothing effect’' を持たないことを考慮すれば相対的に弱く、係数の正則性が増加するにつれて回復率は向上する。
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