論文の概要: Data-driven Prediction of General Hamiltonian Dynamics via Learning Exactly-Symplectic Maps

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2103.05632v1
• Date: Tue, 9 Mar 2021 18:59:36 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-03-10 14:40:49.240685
• Title: Data-driven Prediction of General Hamiltonian Dynamics via Learning Exactly-Symplectic Maps
• Title（参考訳）: 完全シンプレクティックマップによる一般ハミルトン力学のデータ駆動予測
• Authors: Renyi Chen and Molei Tao
• Abstract要約: 我々は、潜時シンプレクティックマップによって生成される非線形時系列の学習と予測について考察する。 我々の方法はベクトル場に頼らず、その存在を前提としないため、異なる。 妥当な仮定の下では、大域的予測誤差は、長い予測時間とともに、ほぼ直線的に増加することが証明される。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 6.85316573653194
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We consider the learning and prediction of nonlinear time series generated by a latent symplectic map. A special case is (not necessarily separable) Hamiltonian systems, whose solution flows give such symplectic maps. For this special case, both generic approaches based on learning the vector field of the latent ODE and specialized approaches based on learning the Hamiltonian that generates the vector field exist. Our method, however, is different as it does not rely on the vector field nor assume its existence; instead, it directly learns the symplectic evolution map in discrete time. Moreover, we do so by representing the symplectic map via a generating function, which we approximate by a neural network (hence the name GFNN). This way, our approximation of the evolution map is always \emph{exactly} symplectic. This additional geometric structure allows the local prediction error at each step to accumulate in a controlled fashion, and we will prove, under reasonable assumptions, that the global prediction error grows at most \emph{linearly} with long prediction time, which significantly improves an otherwise exponential growth. In addition, as a map-based and thus purely data-driven method, GFNN avoids two additional sources of inaccuracies common in vector-field based approaches, namely the error in approximating the vector field by finite difference of the data, and the error in numerical integration of the vector field for making predictions. Numerical experiments further demonstrate our claims.
• Abstract（参考訳）: 我々は、潜時シンプレクティックマップによって生成される非線形時系列の学習と予測について考察する。 特別なケースは(必ずしも分離できない)ハミルトン系であり、その解流はそのようなシンプレクティック写像を与える。 この特別な場合、潜在ODEのベクトル場を学習する一般的なアプローチと、ベクトル場を生成するハミルトニアンを学習する専門的なアプローチの両方が存在する。 しかし、この方法はベクトル場に依存しず、その存在を仮定しないため、異なるものであり、代わりに離散時間においてシンプレクティック進化写像を直接学習する。 さらに、生成関数を介してシンプレクティックマップを表現することで、ニューラルネットワーク(GFNN)で近似します。 この方法では、進化写像の近似は常に \emph{exactly} シンプレクティックである。 この追加的な幾何学的構造により、各ステップにおける局所的予測誤差が制御された方法で蓄積され、合理的な仮定の下では、大域的予測誤差は長い予測時間で最大で 'emph{linearly} で成長し、それ以外は指数的成長が著しく向上することを示す。 さらに、写像に基づく純粋データ駆動手法として、GFNNはベクトル場ベースのアプローチで一般的な2つの不正確なソース、すなわちデータの有限差によるベクトル場近似の誤差と予測を行うためのベクトル場の数値積分における誤差を回避する。 数値実験は我々の主張をさらに実証する。

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