論文の概要: Unitary Subgroup Testing
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2104.03591v3
- Date: Tue, 22 Nov 2022 07:27:21 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-04-04 12:13:20.105084
- Title: Unitary Subgroup Testing
- Title（参考訳）: 単体サブグループテスト
- Authors: Zvika Brakerski, Devika Sharma, Guy Weissenberg
- Abstract要約: 我々は、自明な部分群として $mathcalG$ あるいは Pauli あるいは Clifford 群や $q$-ary 拡張として問題を研究する。
私たちの主な成果は、Pauliテスト、Cliffordテスト、Identityテストの等価性です。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 8.282602586225831
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We consider the problem of $\textit{subgroup testing}$ for a quantum circuit
$C$: given access to $C$, determine whether it implements a unitary that is
$a$-close or $b$-far from a subgroup $\mathcal{G}$ of the unitary group. It
encompasses the problem of exact testing, property testing and tolerant
testing. In this work, we study these problems with the group $\mathcal{G}$ as
the trivial subgroup (i.e. identity testing) or the Pauli or Clifford group and
their $q$-ary extension, and a $\textit{promise}$ version of these problems
where $C$ is promised to be in some subgroup of the unitaries that contains
$\mathcal{G}$ (e.g. identity testing for Clifford circuits).
Our main result is an equivalence between Pauli testing, Clifford testing and
Identity testing. We derive the equivalence between Clifford and Identity
testing by showing a structural property of the Clifford unitaries. Namely,
that their (normalized) trace lies in the discrete set $\{2^{-k/2}: k \in
\mathbb{N}\} \cup \{0\}$, regardless of the dimension. We also state and prove
the analogous property for the $q$-ary Cliffords. This result allows us to
analyze a very simple single-query identity test under the Clifford/Pauli
promise. To prove the equivalence between Pauli and Identity testing, we
analyze the conjugation action of a non-Pauli unitary on the Pauli group and
show that its distance from the Pauli group affects the number of fixed points.
We believe that these results are of interest, independent of their application
to establish the equivalences.
We use the equivalences to compare (and thus establish) computational
hardness for the problems of Pauli and Clifford testing.
- Abstract（参考訳）: 量子回路に対する$\textit{subgroup testing}$の問題は、$C$:$C$へのアクセスを与えられた場合、単位群のサブグループ$\mathcal{G}$から$a$-closeあるいは$b$-farのユニタリを実装しているかどうかを決定する。
正確なテスト、プロパティテスト、耐性テストの問題を包含する。
本研究では、これらの問題を自明な部分群として $\mathcal{G}$ あるいは Pauli あるいは Clifford 群とその $q$-ary 拡張として、および $C$ が $\mathcal{G}$ を含むユニタリ群の一部部分群に属することを約束する $\textit{promise}$ として研究する。
私たちの主な成果は、Pauliテスト、Cliffordテスト、Identityテストの等価性です。
クリフォードユニタリの構造特性を示すことにより、クリフォード検定とアイデンティティ検定の等価性を導出する。
すなわち、それらの(正規化された)トレースは、次元に関係なく、離散集合 $\{2^{-k/2}: k \in \mathbb{N}\} \cup \{0\}$ にある。
また、$q$-ary Cliffords の類似性についても述べ、証明する。
この結果、Clifford/Pauli の約束の下で、非常に単純な単一クエリIDテストを分析することができる。
パウリと同一性テストの同値性を証明するために、パウリ群上の非パウリユニタリの共役作用を分析し、パウリ群からの距離が不動点の数に影響することを示す。
これらの結果は、同値性を確立するための応用とは独立して、興味のあるものであると我々は信じている。
等価性を用いて、パウリとクリフォードテストの問題に対して計算硬度を比較する(そして確立する)。
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