論文の概要: Testing matrix product states
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2201.01824v1
- Date: Wed, 5 Jan 2022 21:10:50 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-03-02 05:25:14.615448
- Title: Testing matrix product states
- Title（参考訳）: 行列積状態のテスト
- Authors: Mehdi Soleimanifar, John Wright
- Abstract要約: 未知の状態$|psirangle$が特性試験モデルにおける行列積状態(MPS)かどうかをテストする。
MPS(英: MPS)は、量子多体系の研究で生じる物理関連量子状態のクラスである。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.225550006603552
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Devising schemes for testing the amount of entanglement in quantum systems
has played a crucial role in quantum computing and information theory. Here, we
study the problem of testing whether an unknown state $|\psi\rangle$ is a
matrix product state (MPS) in the property testing model. MPS are a class of
physically-relevant quantum states which arise in the study of quantum
many-body systems. A quantum state $|\psi_{1,...,n}\rangle$ comprised of $n$
qudits is said to be an MPS of bond dimension $r$ if the reduced density matrix
$\psi_{1,...,k}$ has rank $r$ for each $k \in \{1,...,n\}$. When $r=1$, this
corresponds to the set of product states. For larger values of $r$, this yields
a more expressive class of quantum states, which are allowed to possess limited
amounts of entanglement. In the property testing model, one is given $m$
identical copies of $|\psi\rangle$, and the goal is to determine whether
$|\psi\rangle$ is an MPS of bond dimension $r$ or whether $|\psi\rangle$ is far
from all such states. For the case of product states, we study the product
test, a simple two-copy test previously analyzed by Harrow and Montanaro (FOCS
2010), and a key ingredient in their proof that
$\mathsf{QMA(2)}=\mathsf{QMA}(k)$ for $k \geq 2$. We give a new and simpler
analysis of the product test which achieves an optimal bound for a wide range
of parameters, answering open problems of Harrow and Montanaro (FOCS 2010) and
Montanaro and de Wolf (2016). For the case of $r\geq 2$, we give an efficient
algorithm for testing whether $|\psi\rangle$ is an MPS of bond dimension $r$
using $m = O(n r^2)$ copies, independent of the dimensions of the qudits, and
we show that $\Omega(n^{1/2})$ copies are necessary for this task. This lower
bound shows that a dependence on the number of qudits $n$ is necessary, in
sharp contrast to the case of product states where a constant number of copies
suffices.
- Abstract（参考訳）: 量子システムにおける絡み合いの量をテストするためのスキームの開発は、量子コンピューティングと情報理論において重要な役割を担っている。
ここでは、未知の状態 $|\psi\rangle$ が特性試験モデルにおける行列積状態(MPS)であるかどうかをテストする。
MPS(英: MPS)は、量子多体系の研究で生じる物理関連量子状態のクラスである。
量子状態 $|\psi_{1,...,n}\rangle$ が$n$ qudits からなるとき、還元密度行列 $\psi_{1,...,k}$ が各$k \in \{1,...,n\}$ に対してランク $r$ を持つとき、結合次元 $r$ の MPS となる。
r=1$のとき、これは積状態の集合に対応する。
r$の大きな値の場合、これはより表現力に富んだ量子状態のクラスとなり、限られた量の絡み合いを持つことができる。
プロパティテストモデルでは、$|\psi\rangle$ の同じコピーが $m$ 与えられ、$|\psi\rangle$ が結合次元 $r$ の mps であるかどうか、$|\psi\rangle$ がそのような全ての状態から遠く離れているかどうかを判定する。
製品状態の場合には、製品テスト(harrow and montanaro (focs 2010) によって以前に分析された単純な2コピーテスト)と、その証明における重要な要素である $\mathsf{qma(2)}=\mathsf{qma}(k)$ for $k \geq 2$ の研究を行う。
我々は,harrow と montanaro (focs 2010) と montanaro と de wolf (2016) の未解決問題に対する回答として,幅広いパラメータの最適境界を達成する製品テストの新しい,よりシンプルな解析を行う。
r\geq 2$の場合、$|\psi\rangle$ が結合次元 mps であるかどうかをテストするための効率的なアルゴリズムを与える。 $m = o(n r^2)$ コピーは qudits の次元とは無関係であり、このタスクには $\omega(n^{1/2})$ コピーが必要である。
この下限は、一定数のコピーが十分であるような積状態の場合とは対照的に、qudits $n$ の数への依存が必要であることを示している。
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