論文の概要: Minimal Cycle Representatives in Persistent Homology using Linear Programming: an Empirical Study with User's Guide

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2105.07025v1
• Date: Fri, 14 May 2021 18:38:48 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-05-18 14:28:32.569711
• Title: Minimal Cycle Representatives in Persistent Homology using Linear Programming: an Empirical Study with User's Guide
• Title（参考訳）: リニアプログラミングを用いたパーシステント・ホモロジーにおける最小サイクル代表者--ユーザガイドを用いた実証的研究
• Authors: Lu Li, Connor Thompson, Gregory Henselman-Petrusek, Chad Giusti, Lori Ziegelmeier
• Abstract要約: 永続ホモロジークラスのサイクル代表は、データ内のトポロジ的特徴の説明に使用することができる。 この問題を解決するためのアプローチの1つは、データのコンテキストで意味のある尺度に対して代表者の選択を最適化することです。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 4.46514714749204
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Cycle representatives of persistent homology classes can be used to provide descriptions of topological features in data. However, the non-uniqueness of these representatives creates ambiguity and can lead to many different interpretations of the same set of classes. One approach to solving this problem is to optimize the choice of representative against some measure that is meaningful in the context of the data. In this work, we provide a study of the effectiveness and computational cost of several $\ell_1$-minimization optimization procedures for constructing homological cycle bases for persistent homology with rational coefficients in dimension one, including uniform-weighted and length-weighted edge-loss algorithms as well as uniform-weighted and area-weighted triangle-loss algorithms. We conduct these optimizations via standard linear programming methods, applying general-purpose solvers to optimize over column bases of simplicial boundary matrices. Our key findings are: (i) optimization is effective in reducing the size of cycle representatives, (ii) the computational cost of optimizing a basis of cycle representatives exceeds the cost of computing such a basis in most data sets we consider, (iii) the choice of linear solvers matters a lot to the computation time of optimizing cycles, (iv) the computation time of solving an integer program is not significantly longer than the computation time of solving a linear program for most of the cycle representatives, using the Gurobi linear solver, (v) strikingly, whether requiring integer solutions or not, we almost always obtain a solution with the same cost and almost all solutions found have entries in {-1, 0, 1} and therefore, are also solutions to a restricted $\ell_0$ optimization problem, and (vi) we obtain qualitatively different results for generators in Erd\H{o}s-R\'enyi random clique complexes.
• Abstract（参考訳）: 永続ホモロジークラスのサイクル代表は、データのトポロジ的特徴の記述を提供するのに使うことができる。 しかし、これらの代表の非特異性は曖昧さを生み出し、同じクラスの集合の多くの異なる解釈をもたらす。 この問題を解決する1つのアプローチは、データのコンテキストにおいて意味のある指標に対して代表者の選択を最適化することである。 本研究では,一様重み付きおよび長さ重み付きエッジロスアルゴリズム,および一様重み付きおよび面積重み付き三角形ロスアルゴリズムを含む,一次元の有理係数を持つ連続ホモロジーのホモロジーサイクルベースを構築するための,幾つもの$\ell_1$-minimization最適化手順の有効性と計算コストについて検討する。 標準線形計画法を用いてこれらの最適化を行い、汎用解法を用いて単純境界行列の列ベースを最適化する。 Our key findings are: (i) optimization is effective in reducing the size of cycle representatives, (ii) the computational cost of optimizing a basis of cycle representatives exceeds the cost of computing such a basis in most data sets we consider, (iii) the choice of linear solvers matters a lot to the computation time of optimizing cycles, (iv) the computation time of solving an integer program is not significantly longer than the computation time of solving a linear program for most of the cycle representatives, using the Gurobi linear solver, (v) strikingly, whether requiring integer solutions or not, we almost always obtain a solution with the same cost and almost all solutions found have entries in {-1, 0, 1} and therefore, are also solutions to a restricted $\ell_0$ optimization problem, and (vi) we obtain qualitatively different results for generators in Erd\H{o}s-R\'enyi random clique complexes.

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