論文の概要: Non-asymptotic convergence bounds for Wasserstein approximation using point clouds

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2106.07911v1
• Date: Tue, 15 Jun 2021 06:53:08 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-06-16 15:04:44.392169
• Title: Non-asymptotic convergence bounds for Wasserstein approximation using point clouds
• Title（参考訳）: 点雲を用いたワッサースタイン近似の非漸近収束境界
• Authors: Quentin Merigot (LMO, IUF), Filippo Santambrogio (ICJ, IUF), Cl\'ement Sarrazin (LMO)
• Abstract要約: モデル確率分布からサンプルしたような離散データを生成する方法を示す。 収束型アルゴリズムに対して明示的な上限を与える。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Several issues in machine learning and inverse problems require to generate discrete data, as if sampled from a model probability distribution. A common way to do so relies on the construction of a uniform probability distribution over a set of $N$ points which minimizes the Wasserstein distance to the model distribution. This minimization problem, where the unknowns are the positions of the atoms, is non-convex. Yet, in most cases, a suitably adjusted version of Lloyd's algorithm -- in which Voronoi cells are replaced by Power cells -- leads to configurations with small Wasserstein error. This is surprising because, again, of the non-convex nature of the problem, as well as the existence of spurious critical points. We provide explicit upper bounds for the convergence speed of this Lloyd-type algorithm, starting from a cloud of points sufficiently far from each other. This already works after one step of the iteration procedure, and similar bounds can be deduced, for the corresponding gradient descent. These bounds naturally lead to a modified Poliak-Lojasiewicz inequality for the Wasserstein distance cost, with an error term depending on the distances between Dirac masses in the discrete distribution.
• Abstract（参考訳）: 機械学習と逆問題におけるいくつかの問題は、モデル確率分布からサンプリングされたような離散データを生成する必要がある。 そのような方法の一般的な方法は、モデル分布へのワッサーシュタイン距離を最小化する$N$点の集合上の一様確率分布の構成に依存する。 未知が原子の位置であるこの最小化問題は非凸である。 しかし、ほとんどの場合、ヴォロノイ細胞をパワーセルに置き換えるロイドのアルゴリズムの適度に調整されたバージョンは、小さなワッサーシュタイン誤差を伴う構成に導かれる。 これは、再び、この問題の凸でない性質と、散発的な臨界点の存在について、驚きである。 我々は、このロイド型アルゴリズムの収束速度について、十分遠く離れた点の雲から明らかな上限を与える。 これはすでにイテレーション手順の1ステップ後に動作し、対応する勾配降下に対して同様の境界を推論できる。 これらの境界は自然に、離散分布におけるディラック質量間の距離に依存する誤差項を持つ、ワッサーシュタイン距離コストに対するポリアク・ロジャシェヴィチの不等式修正につながる。

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