論文の概要: How many moments does MMD compare?
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2106.14277v1
- Date: Sun, 27 Jun 2021 16:44:17 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2021-06-29 13:57:35.639623
- Title: How many moments does MMD compare?
- Title（参考訳）: MMDはいくつ比較できますか。
- Authors: Rustem Takhanov
- Abstract要約: MathcalF-1$は、$K$に関連付けられた積分作用素と同じ方法で滑らかな関数に作用する。
擬微分作用素によって定義されるカーネルは、コンパクト集合上の任意の連続マーサー核を均一に近似することができることを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 7.919213739992465
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We present a new way of study of Mercer kernels, by corresponding to a
special kernel $K$ a pseudo-differential operator $p({\mathbf x}, D)$ such that
$\mathcal{F} p({\mathbf x}, D)^\dag p({\mathbf x}, D) \mathcal{F}^{-1}$ acts on
smooth functions in the same way as an integral operator associated with $K$
(where $\mathcal{F}$ is the Fourier transform). We show that kernels defined by
pseudo-differential operators are able to approximate uniformly any continuous
Mercer kernel on a compact set.
The symbol $p({\mathbf x}, {\mathbf y})$ encapsulates a lot of useful
information about the structure of the Maximum Mean Discrepancy distance
defined by the kernel $K$. We approximate $p({\mathbf x}, {\mathbf y})$ with
the sum of the first $r$ terms of the Singular Value Decomposition of $p$,
denoted by $p_r({\mathbf x}, {\mathbf y})$. If ordered singular values of the
integral operator associated with $p({\mathbf x}, {\mathbf y})$ die down
rapidly, the MMD distance defined by the new symbol $p_r$ differs from the
initial one only slightly. Moreover, the new MMD distance can be interpreted as
an aggregated result of comparing $r$ local moments of two probability
distributions.
The latter results holds under the condition that right singular vectors of
the integral operator associated with $p$ are uniformly bounded. But even if
this is not satisfied we can still hold that the Hilbert-Schmidt distance
between $p$ and $p_r$ vanishes. Thus, we report an interesting phenomenon: the
MMD distance measures the difference of two probability distributions with
respect to a certain number of local moments, $r^\ast$, and this number
$r^\ast$ depends on the speed with which singular values of $p$ die down.
- Abstract（参考訳）: 我々は、仮想微分作用素 $p({\mathbf x}, d)$ で $\mathcal{f} p({\mathbf x}, d)^\dag p({\mathbf x}, d) \mathcal{f}^{-1}$ が $k$($\mathcal{f}$ がフーリエ変換である)に付随する積分作用素と同様に滑らかな関数に作用する特別カーネル $k$ に対応することにより、マーサー核の新しい研究方法を提案する。
擬微分作用素によって定義される核は、コンパクト集合上の任意の連続マーサー核を一様近似することができる。
記号 $p({\mathbf x}, {\mathbf y})$ は、カーネル $k$ によって定義される最大平均不一致距離の構造に関する多くの有用な情報をカプセル化する。
我々は$p({\mathbf x}, {\mathbf y})$を、$p$の特異値分解の最初の$r$項の和で近似し、$p_r({\mathbf x}, {\mathbf y})$と表記する。
もし$p({\mathbf x}, {\mathbf y})$ に付随する積分作用素の順序付き特異値が急速に減少すると、新しい記号 $p_r$ によって定義される mmd 距離は初期値とわずかに異なる。
さらに、新しいmmd距離は、2つの確率分布のr$局所モーメントを比較する結果と解釈できる。
後者の結果は、$p$に付随する積分作用素の右特異ベクトルが一様有界であるという条件で成り立つ。
しかし、それが満たされていなくても、ヒルベルト=シュミット距離が$p$から$p_r$の間は消えると考えることができる。
したがって、mmd距離は、一定数の局所モーメントに対して2つの確率分布の差(r^\ast$)を測定し、この数$r^\ast$は、p$の特異値が減る速度に依存するという興味深い現象を報告している。
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